Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
Não há mais condições no enunciado — vamos usar apenas manipulações algébricas e limites básicos para avaliar essa expressão.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: escrever
em termos de seno e cosseno. Lembrando que
, temos
Aqui cada símbolo significa:
é a variável que tende a
,
é o cosseno do ângulo
,
é o seno do ângulo
.
Passo 3
Vamos lembrar um limite fundamental que vamos usar várias vezes:
Explicando por que isso é verdade (resumo didático): para
pequeno e positivo temos a desigualdade geométrica
pois
para
. Como
, o teorema do confronto (squeeze) dá
. Para
negativo a propriedade vale por simetria (seno é função ímpar). Assim, também vale
Passo 4
Voltemos à expressão
. É útil isolar um fator que permita aplicar o limite anterior. Observe que
Aqui eu apenas multipliquei e dividi por
para formar o quociente
, que se aproxima de
por causa do limite fundamental.
Passo 5
Agora apliquei a propriedade do limite do produto (se duas funções têm limite, o produto tem limite igual ao produto dos limites). Avaliamos os dois fatores:
porque o cosseno é contínuo; e, usando o limite fundamental com
,
Portanto,
Passo 6
Para reforço rápido: uma alternativa equivalente é fazer a substituição
. Então
e
quando
. A expressão fica
e usando
e
obtemos o mesmo resultado
.