Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x \cot 4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} x\cot 4x.
Informações dadas:
\text{expressão: }x\cot 4x, \qquad\text{e o ponto de interesse: }x\to 0.ã
Não há mais condições no enunciado — vamos usar apenas manipulações algébricas e limites básicos para avaliar essa expressão.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: escrever \cot em termos de seno e cosseno. Lembrando que \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}, temos
x\cot 4x = x\cdot\frac{\cos 4x}{\sin 4x} = \frac{x\cos 4x}{\sin 4x}.
Aqui cada símbolo significa:
\,x é a variável que tende a 0,
\cos 4x é o cosseno do ângulo 4x,
\sin 4x é o seno do ângulo 4x.

Passo 3

Vamos lembrar um limite fundamental que vamos usar várias vezes:
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicando por que isso é verdade (resumo didático): para u pequeno e positivo temos a desigualdade geométrica
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1,
pois \sin u < u < \tan u para 0<u<\tfrac{\pi}{2}. Como \lim_{u\to0}\cos u=1, o teorema do confronto (squeeze) dá \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Para u negativo a propriedade vale por simetria (seno é função ímpar). Assim, também vale
\lim_{u\to0}\frac{u}{\sin u}=1.

Passo 4

Voltemos à expressão \dfrac{x\cos 4x}{\sin 4x}. É útil isolar um fator que permita aplicar o limite anterior. Observe que
\frac{x\cos 4x}{\sin 4x}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4x\cos 4x}{\sin 4x}=\frac{1}{4}\left(\cos 4x\right)\left(\frac{4x}{\sin 4x}\right).
Aqui eu apenas multipliquei e dividi por 4 para formar o quociente \dfrac{4x}{\sin 4x}, que se aproxima de 1 por causa do limite fundamental.

Passo 5

Agora apliquei a propriedade do limite do produto (se duas funções têm limite, o produto tem limite igual ao produto dos limites). Avaliamos os dois fatores:
\lim_{x\to0}\cos 4x = \cos 0 = 1,
porque o cosseno é contínuo; e, usando o limite fundamental com u=4x,
\lim_{x\to0}\frac{4x}{\sin 4x}=1.
Portanto,
\lim_{x\to0}x\cot 4x=\frac{1}{4}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{4}.

Passo 6

Para reforço rápido: uma alternativa equivalente é fazer a substituição u=4x. Então x=u/4 e u\to0 quando x\to0. A expressão fica
\frac{u}{4}\cot u=\frac{1}{4}\cdot u\cdot\frac{\cos u}{\sin u}=\frac{1}{4}\cos u\cdot\frac{u}{\sin u},
e usando \lim_{u\to0}\cos u=1 e \lim_{u\to0}\dfrac{u}{\sin u}=1 obtemos o mesmo resultado \tfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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