Calcule os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser analisada é
. - A variável
tende para . - A resposta pode ser um número finito,
ou (ou não existir), e precisamos determinar qual é o caso.
Passo 2
O que significa dizer que um limite é
?
Significa que a expressão cresce sem limite superior quando cresce: para todo
existe
tal que, se
, então a expressão é maior que
. Em palavras mais simples: à medida que
fica muito grande,
também fica arbitrariamente grande (positiva).
Significa que a expressão cresce sem limite superior quando
Passo 3
Uma forma prática de analisar limites de polinômios é fatorar pelo termo de maior grau. Vou fazer isso aqui: colocar
em evidência.
Explicando o passo: se eu distribuo
no parêntese tenho
, então a fatoração está correta.
Passo 4
Agora avalio os limites das duas partes que aparecem no produto separado:
- Sabemos que
porque
cresce sem limite quando
.
- E que
porque
quando
.
Passo 5
Intuição e argumento rigoroso: o produto de algo que tende a
por algo que tende a
(um número positivo) deve tender a
. Para tornar isso mais claro e um pouco mais rigoroso, observe que para
vale
Então, para
,
Dado qualquer
, basta escolher
para garantir
, logo
. Isso mostra formalmente que
cresce sem limite superior quando
.
Passo 6
Um pouco de intuição numérica para acalmar o coração:
- Para
: . - Para
: .
Vê como já fica bem grande e cresce muito rápido quandoaumenta.