Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-3x\right).
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é x^{2}-3x.
  • A variável x tende para +\infty.
  • A resposta pode ser um número finito, +\infty ou -\infty (ou não existir), e precisamos determinar qual é o caso.

Passo 2

O que significa dizer que um limite é +\infty?
Significa que a expressão cresce sem limite superior quando x cresce: para todo M>0 existe N tal que, se x>N, então a expressão é maior que M. Em palavras mais simples: à medida que x fica muito grande, x^{2}-3x também fica arbitrariamente grande (positiva).

Passo 3

Uma forma prática de analisar limites de polinômios é fatorar pelo termo de maior grau. Vou fazer isso aqui: colocar x^{2} em evidência.
x^{2}-3x = x^{2}\left(1-\frac{3}{x}\right).
Explicando o passo: se eu distribuo x^{2} no parêntese tenho x^{2}\cdot 1 - x^{2}\cdot \dfrac{3}{x}=x^{2}-3x, então a fatoração está correta.

Passo 4

Agora avalio os limites das duas partes que aparecem no produto separado:
  • Sabemos que
\lim_{x\to\infty} x^{2} = +\infty,
porque x^{2} cresce sem limite quando x\to\infty.
  • E que
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)=1,
porque \dfrac{3}{x}\to 0 quando x\to\infty.

Passo 5

Intuição e argumento rigoroso: o produto de algo que tende a +\infty por algo que tende a 1 (um número positivo) deve tender a +\infty. Para tornar isso mais claro e um pouco mais rigoroso, observe que para x>6 vale
1-\frac{3}{x}>\tfrac{1}{2}.
Então, para x>6,
x^{2}-3x = x^{2}\left(1-\frac{3}{x}\right) > \tfrac{1}{2}x^{2}.
Dado qualquer M>0, basta escolher x>\max\{6,\sqrt{2M}\} para garantir \tfrac{1}{2}x^{2}>M, logo x^{2}-3x>M. Isso mostra formalmente que x^{2}-3x cresce sem limite superior quando x\to\infty.

Passo 6

Um pouco de intuição numérica para acalmar o coração:
  • Para x=10: x^{2}-3x=100-30=70.
  • Para x=100: x^{2}-3x=10000-300=9700.
    Vê como já fica bem grande e cresce muito rápido quando x aumenta.

Resposta

+\infty

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