A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta. Calcule a velocidade média dos átomos de He nas temperaturas 1000 K

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedem a velocidade média dos átomos de hélio (He) à temperatura 1000\\ \mathrm{K}.
  • Informação fornecida: temperatura T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Informação necessária (não dada explicitamente, mas padrão): massa atômica do He é aproximadamente 4 unidades de massa atômica ( 4\\ \mathrm{u} ).
  • Constantes físicas que vamos usar (valores padrão):
    • Constante de Boltzmann: k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • Unidade de massa atômica: 1\\ \mathrm{u} = 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
  • Na teoria cinética dos gases, as velocidades das partículas seguem a distribuição de Maxwell–Boltzmann. A “velocidade média” (magnitude média da velocidade) de partículas de massa m à temperatura T é dada pela fórmula
\bar{v}=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}.
  • Nesta fórmula:
    • \bar{v} é a velocidade média (módulo médio da velocidade) em \mathrm{m/s}.
    • k é a constante de Boltzmann em \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • T é a temperatura em \mathrm{K}.
    • m é a massa da partícula em \mathrm{kg}.
  • Observação prática: existe também a velocidade quadrática média (root-mean-square)
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}},
que é numericamente um pouco maior que \bar{v}. Na prova, se pedirem “velocidade média” use \bar{v} acima; se pedirem “velocidade quadrática média” ou “velocidade rms”, use v_{\mathrm{rms}}.

Passo 3

Calcular a massa de um átomo de He:
  • Massa de He (aproximadamente 4\\ \mathrm{u}):
m = 4\\ \mathrm{u} = 4\times\left(1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\right) = 6{,}6421562664\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo:
  • Primeiro calcule o numerador 8kT:
8kT = 8\times(1{,}380649\times10^{-23})\times(1000) = 1{,}1045192\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Calcule \pi m:
\pi m = \pi\times(6{,}6421562664\times10^{-27}) \approx 2{,}08671\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • Faça a divisão dentro da raiz:
\frac{8kT}{\pi m} \approx \frac{1{,}1045192\times10^{-19}}{2{,}08671\times10^{-26}} \approx 5{,}295\times10^{6}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Tire a raiz quadrada para obter \bar{v}:
\bar{v}=\sqrt{5{,}295\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Ou seja, numericamente,
\bar{v}\approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox. }2300\\ \mathrm{m/s}).

Passo 5

Comentário final, comparação e dica para prova:
  • Resultado prático: átomos de He a 1000\\ \mathrm{K} têm velocidade média da ordem de alguns milhares de metros por segundo ( \sim2300\\ \mathrm{m/s}).
  • Para referência rápida em prova: se quiser também calcular v_{\mathrm{rms}}, use \;v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3kT/m}, que para os mesmos números dá aproximadamente v_{\mathrm{rms}}\approx2{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} (ou seja, ~2500 m/s).
  • Dica de memorização: as fórmulas têm raiz quadrada de (kT/m) com fatores numéricos diferentes ( \sqrt{8/(\pi)} para a média, \sqrt{3} para o rms). Se souber a massa em unidades de \mathrm{kg} e T em \mathrm{K}, a conta é direta e dá m/s. Força aí — você consegue!

Resposta

\bar{v}\approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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