Calcule os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral à esquerda
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto para o qual
se aproxima é , e é a aproximação pela esquerda (ou seja, por valores ). - Queremos o valor do limite quando
se aproxima de por valores menores que .
Passo 2
Fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão. Usar duas identidades básicas:
- Diferença de quadrados:
. - Trinômio quadrado perfeito:
.
Aplicando:
Passo 3
Reescrever a função usando as fatorações:
Para
podemos cancelar um fator
, obtendo a forma simplificada válida para pontos diferentes de
:
Observação importante (didática): cancelar é permitido porque, no cálculo de limite, interessam-se valores de
próximos de
mas distintos de
. O valor no ponto
não importa para o limite.
Passo 4
Agora estudamos o comportamento de
quando
.
- O numerador
tende para , que é positivo. - O denominador
tende para vindo de valores negativos, pois para temos . Portanto o denominador é um número com módulo pequeno e sinal negativo.
Assim, uma fração com numerador próximo de
e denominador tendendo a
pelo lado negativo tem valor com grande magnitude e sinal negativo: tende para
.
Para ver com uma substituição explícita, ponha
com
pequeno. Então
Quando
,
, logo
.
Passo 5
Conclusão: a expressão diverge para menos infinito quando
se aproxima de
pela esquerda. Em linguagem de limite,