Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}-9}{x^{2}-6 x+9}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral à esquerda
\lim_{x\to 3^-} \frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}.
  • O ponto para o qual x se aproxima é 3, e é a aproximação pela esquerda (ou seja, por valores x<3).
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de 3 por valores menores que 3.

Passo 2

Fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão. Usar duas identidades básicas:
  • Diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Trinômio quadrado perfeito: a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.
Aplicando:
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2}=(x-3)(x+3),
x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}.

Passo 3

Reescrever a função usando as fatorações:
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^{2}}.
Para x\neq 3 podemos cancelar um fator (x-3), obtendo a forma simplificada válida para pontos diferentes de 3:
\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^{2}}=\frac{x+3}{x-3},\qquad (x\neq 3).
Observação importante (didática): cancelar é permitido porque, no cálculo de limite, interessam-se valores de x próximos de 3 mas distintos de 3. O valor no ponto x=3 não importa para o limite.

Passo 4

Agora estudamos o comportamento de \dfrac{x+3}{x-3} quando x\to 3^-.
  • O numerador x+3 tende para 3+3=6, que é positivo.
  • O denominador x-3 tende para 0 vindo de valores negativos, pois para x<3 temos x-3<0. Portanto o denominador é um número com módulo pequeno e sinal negativo.
Assim, uma fração com numerador próximo de 6>0 e denominador tendendo a 0 pelo lado negativo tem valor com grande magnitude e sinal negativo: tende para -\infty.
Para ver com uma substituição explícita, ponha x=3-h com h>0 pequeno. Então
\frac{x+3}{x-3}=\frac{(3-h)+3}{(3-h)-3}=\frac{6-h}{-h}=-\left(\frac{6-h}{h}\right)=-\left(\frac{6}{h}-1\right).
Quando h\to 0^+, \dfrac{6}{h}\to +\infty, logo -\big(\dfrac{6}{h}-1\big)\to -\infty.

Passo 5

Conclusão: a expressão diverge para menos infinito quando x se aproxima de 3 pela esquerda. Em linguagem de limite,
\lim_{x\to 3^-}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}=-\infty.

Resposta

-\infty

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