Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função em questão é
. -
é a constante de Euler (aproximadamente ), mas não precisamos do valor numérico para resolver o limite. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Transformação útil: usar a regra de potências para reescrever a função de forma mais familiar. Para qualquer número positivo
e expoente
vale
Aplicando com
obtemos
Essa reescrita costuma facilitar porque trabalhamos diretamente com a função exponencial
.
Passo 3
Propriedade-chave (explicada didaticamente): a função exponencial
é contínua para todo
. “Contínua” aqui significa que, se um número
se aproxima de um valor
, então
se aproxima de
; simbolicamente,
Uma consequência prática: se
tem limite
quando
, então
Isso é útil porque podemos substituir o limite do expoente dentro da exponencial.
Passo 4
Aplicar a propriedade acima ao nosso caso. Reescrevemos o limite usando a forma
:
Como a função
é contínua, podemos levar o limite para dentro do expoente:
Agora calculamos o limite simples do expoente:
Portanto
Passo 5
Interpretação final e formas equivalentes:
é a forma mais compacta; escrevendo como potência positiva de
ou fração, temos também
Nada mais a simplificar sem usar aproximações numéricas.