Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{1}{e}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 3}\left(\frac{1}{e}\right)^{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função em questão é f(x)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{x}.
  • e é a constante de Euler (aproximadamente 2{,}71828\ldots), mas não precisamos do valor numérico para resolver o limite.
  • O ponto de interesse é x\to 3.

Passo 2

Transformação útil: usar a regra de potências para reescrever a função de forma mais familiar. Para qualquer número positivo a e expoente x vale
\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}.
Aplicando com a=e obtemos
\left(\frac{1}{e}\right)^x = e^{-x}.
Essa reescrita costuma facilitar porque trabalhamos diretamente com a função exponencial e^{(\cdot)}.

Passo 3

Propriedade-chave (explicada didaticamente): a função exponencial
g(t)=e^{t}
é contínua para todo t\in\mathbb{R}. “Contínua” aqui significa que, se um número t se aproxima de um valor t_0, então e^{t} se aproxima de e^{t_0}; simbolicamente,
\lim_{t\to t_0} e^{t} = e^{t_0}.
Uma consequência prática: se h(x) tem limite L quando x\to a, então
\lim_{x\to a} e^{h(x)} = e^{L}.
Isso é útil porque podemos substituir o limite do expoente dentro da exponencial.

Passo 4

Aplicar a propriedade acima ao nosso caso. Reescrevemos o limite usando a forma e^{-x}:
\lim_{x\to 3}\left(\frac{1}{e}\right)^{x} = \lim_{x\to 3} e^{-x}.
Como a função e^{t} é contínua, podemos levar o limite para dentro do expoente:
\lim_{x\to 3} e^{-x} = e^{\lim_{x\to 3} (-x)}.
Agora calculamos o limite simples do expoente:
\lim_{x\to 3} (-x) = -3.
Portanto
\lim_{x\to 3} e^{-x} = e^{-3}.

Passo 5

Interpretação final e formas equivalentes: e^{-3} é a forma mais compacta; escrevendo como potência positiva de e ou fração, temos também
e^{-3} = \left(\frac{1}{e}\right)^{3} = \frac{1}{e^{3}}.
Nada mais a simplificar sem usar aproximações numéricas.

Resposta

e^{-3}

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