Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:\n
- Pede calcular o limite
\n - Informação disponível: a base da potência é
, um número positivo; a variável aproxima-se de .\n
(Nada mais é dado pelo enunciado.)
Passo 2
Recordando uma forma útil de escrever potências com base positiva: para qualquer número real
e qualquer base
vale a identidade
onde
é o logaritmo natural de
e
é a base dos logaritmos naturais. Aqui:
-
é a base da potência (no nosso caso ), -
é o expoente (a variável que tende a ), -
é um número real bem definido porque .\n
Essa identidade é útil porque a funçãoé contínua e as operações algébricas com números fixos preservam limites.
Passo 3
Reescrevendo a função do limite usando a identidade acima com
:
Como
é contínua e a função
é contínua (é uma função linear em
), o composto é contínuo. Logo o limite pode ser obtido simplesmente substituindo
:
Passo 4
Calculemos
. Usando a propriedade logarítmica
, vem
E
pela definição inversa entre exponencial e logaritmo.
Passo 5
Alternativa direta e muito comum em prova: para qualquer número
vale
. Aplicando isso aqui:
Portanto, seja pela continuidade da exponencial ou pela regra de potências, o resultado é o mesmo. Dica prática: para limites de funções do tipo
com
, normalmente basta substituir
pelo ponto limite quando não há indeterminação.