Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:\n
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}.\n
  • Informação disponível: a base da potência é \dfrac{1}{2}, um número positivo; a variável x aproxima-se de -1.\n
    (Nada mais é dado pelo enunciado.)

Passo 2

Recordando uma forma útil de escrever potências com base positiva: para qualquer número real x e qualquer base a>0 vale a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a e e é a base dos logaritmos naturais. Aqui:
  • a é a base da potência (no nosso caso a=\dfrac{1}{2}),
  • x é o expoente (a variável que tende a -1),
  • \ln a é um número real bem definido porque a>0.\n
    Essa identidade é útil porque a função x\mapsto e^{x} é contínua e as operações algébricas com números fixos preservam limites.

Passo 3

Reescrevendo a função do limite usando a identidade acima com a=\dfrac{1}{2}:
\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=e^{x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
Como t\mapsto e^{t} é contínua e a função x\mapsto x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é contínua (é uma função linear em x), o composto é contínuo. Logo o limite pode ser obtido simplesmente substituindo x=-1:
\lim_{x\to -1} e^{x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}=e^{-1\cdot\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.

Passo 4

Calculemos e^{-1\cdot\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}. Usando a propriedade logarítmica \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, vem
e^{-1\cdot\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}=e^{-1\cdot(-\ln 2)}=e^{\ln 2}.
E e^{\ln 2}=2 pela definição inversa entre exponencial e logaritmo.

Passo 5

Alternativa direta e muito comum em prova: para qualquer número b\neq 0 vale b^{-1}=\dfrac{1}{b}. Aplicando isso aqui:
\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Portanto, seja pela continuidade da exponencial ou pela regra de potências, o resultado é o mesmo. Dica prática: para limites de funções do tipo a^{x} com a>0, normalmente basta substituir x pelo ponto limite quando não há indeterminação.

Resposta

2

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