Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x^{2}-x+1}{3 x-2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é \left(\dfrac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2}.
  • O ponto em que x tende é x\to 1.
  • O numerador é o polinômio 2x^{2}-x+1.
  • O denominador é a função linear 3x-2.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): polinômios e funções polinomiais são contínuos em todo ponto; funções lineares também são contínuas. A propriedade de limite que usaremos é: se f e g são funções contínuas em a e g(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Além disso, a função potência h(t)=t^{2} é contínua em todo t, então
\lim_{x\to a} (u(x))^{2} = \left(\lim_{x\to a} u(x)\right)^{2},
desde que o limite de u(x) exista. Essas são regras básicas sobre limites que permitem substituir x por a quando as funções são contínuas.

Passo 3

Verificar continuidade/condição necessária: calcular o denominador em x=1 para garantir que não seja zero:
3\cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \neq 0.
Como o denominador em x=1 é diferente de zero, o quociente é bem definido e contínuo em x=1.

Passo 4

Calcular o valor do numerador em x=1:
2\cdot 1^{2} - 1 + 1 = 2\cdot 1 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2.

Passo 5

Calcular o valor do quociente no ponto x=1 (substituição direta, justificada pela continuidade):
\frac{2\cdot 1^{2} - 1 + 1}{3\cdot 1 - 2} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 6

Aplicar a continuidade da função quadrado para obter o limite final:
\lim_{x\to 1}\left(\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2} = \left(\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2} = 2^{2} = 4.

Resposta

4

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