Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{2}-5 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\left(3x^{2}-5x+2\right).
Informações dadas:
  • A função cuja limite se pede é f(x)=3x^{2}-5x+2.
  • O ponto de aproximação é x\to 2.

Passo 2

Ideia que vamos usar (regras básicas de limites, explicadas devagarinho).
  • Há regras de limites que dizem que o limite da soma é a soma dos limites e o limite de um produto por constante é essa constante vezes o limite:
\lim_{x\to a}\big(A(x)+B(x)\big)=\lim_{x\to a}A(x)+\lim_{x\to a}B(x), \qquad \lim_{x\to a}\big(c\cdot A(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a}A(x),
onde c é constante.
  • Também vale que
\lim_{x\to a}x=a, \qquad \lim_{x\to a}x^{2}=\big(\lim_{x\to a}x\big)^{2}=a^{2}.
Essas propriedades permitem avaliar limites de polinômios apenas substituindo x=a. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Aplicando as regras ao polinômio 3x^{2}-5x+2:
\lim_{x\to 2}\left(3x^{2}-5x+2\right) =3\lim_{x\to 2}x^{2}-5\lim_{x\to 2}x+\lim_{x\to 2}2.
Agora substituímos usando \lim_{x\to 2}x=2 e \lim_{x\to 2}2=2:
=3\cdot\big(\lim_{x\to 2}x\big)^{2}-5\cdot\lim_{x\to 2}x+2 =3\cdot 2^{2}-5\cdot 2+2.

Passo 4

Fazendo as contas aritméticas passo a passo:
3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12, \qquad 5\cdot 2=10,
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12-10+2=2+2=4.

Passo 5

Método alternativo (checar com fatoração): fatorando o polinômio temos
3x^{2}-5x+2=(3x-2)(x-1).
Substituindo x=2 na expressão fatorada:
(3\cdot 2-2)(2-1)=(6-2)\cdot 1=4\cdot 1=4,
o que confirma o resultado obtido acima.

Resposta

4

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