Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{4}+4 x^{3}+x^{2}-12 x-12}{2 x^{3}+7 x^{2}+4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -2}\frac{x^{4}+4x^{3}+x^{2}-12x-12}{2x^{3}+7x^{2}+4x+4}.
Informações dadas:
  • Numerador: \;x^{4}+4x^{3}+x^{2}-12x-12.
  • Denominador: \;2x^{3}+7x^{2}+4x+4.
  • Pede-se o valor do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Lembrete teórico (passo a passo, sem pressa): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Portanto, se ao substituir x=a no denominador obtivermos um número diferente de zero, vale que
\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}.
Ou seja: basta avaliar numerador e denominador em x=a desde que Q(a)\neq0.

Passo 3

Vamos calcular o valor do denominador em x=-2 passo a passo:
2x^{3}+7x^{2}+4x+4\Big|_{x=-2} =2(-2)^{3}+7(-2)^{2}+4(-2)+4.
Calculemos cada termo:
(-2)^{3}=-8,\quad 2(-8)=-16.
(-2)^{2}=4,\quad 7\cdot4=28.
4(-2)=-8.
Somando:
-16+28-8+4 = (-16+28)=12,\quad 12-8=4,\quad 4+4=8.
Logo o denominador em x=-2 vale \;8, que é diferente de zero.

Passo 4

Agora calculemos o numerador em x=-2 passo a passo:
x^{4}+4x^{3}+x^{2}-12x-12\Big|_{x=-2} =(-2)^{4}+4(-2)^{3}+(-2)^{2}-12(-2)-12.
Calculemos cada termo:
(-2)^{4}=16.
(-2)^{3}=-8,\quad 4\cdot(-8)=-32.
(-2)^{2}=4.
-12(-2)=24.
Somando:
16-32+4+24-12.
Agrupando para facilitar:
(16-32)=-16,\quad (-16+4)=-12,\quad (-12+24)=12,\quad (12-12)=0.
Logo o numerador em x=-2 vale \;0.

Passo 5

Como o denominador em x=-2 é diferente de zero ( 8) e o numerador é 0, pela continuidade da função racional temos
\lim_{x\to -2}\frac{x^{4}+4x^{3}+x^{2}-12x-12}{2x^{3}+7x^{2}+4x+4}=\frac{0}{8}=0.

Resposta

0

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