Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações dadas:
- A função dentro do logaritmo é
. - Estamos fazendo o limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Observação importante sobre composição de limites e continuidade do logaritmo:
- A função
é contínua para . Isso significa que, se
e
, então
Logo, o problema reduz-se a calcular o limite do quociente interno
Note que, ao substituir
diretamente, obtemos a forma indeterminada
, pois
e
.
Passo 3
Para eliminar a indeterminação usa-se a racionalização do denominador (multiplicar por conjugado). Multiplica-se numerador e denominador por
:
O denominador vira diferença de quadrados:
Portanto, para
,
A simplificação vale para todos
próximos de
mas diferentes de
, o que é suficiente para avaliar o limite.
Passo 4
Agora calculamos a limite da expressão simplificada:
Como o limite interno é
e
é contínua em
, aplicamos a continuidade: