Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \ln \left(\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to 3}\ln\!\left(\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\right).
Informações dadas:
  • A função dentro do logaritmo é \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}.
  • Estamos fazendo o limite quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Observação importante sobre composição de limites e continuidade do logaritmo:
  • A função \ln(t) é contínua para t>0. Isso significa que, se
\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=L
e L>0, então
\lim_{x\to 3}\ln\!\left(\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\right)=\ln(L).
Logo, o problema reduz-se a calcular o limite do quociente interno
\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}.
Note que, ao substituir x=3 diretamente, obtemos a forma indeterminada 0/0, pois x-3\to0 e \sqrt{3+1}-2=\sqrt{4}-2=0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação usa-se a racionalização do denominador (multiplicar por conjugado). Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{x+1}+2:
\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} =\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}.
O denominador vira diferença de quadrados:
(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)=x+1-4=x-3.
Portanto, para x\neq3,
\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{x-3}=\sqrt{x+1}+2.
A simplificação vale para todos x próximos de 3 mas diferentes de 3, o que é suficiente para avaliar o limite.

Passo 4

Agora calculamos a limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=\lim_{x\to 3}\big(\sqrt{x+1}+2\big)=\sqrt{4}+2=2+2=4.
Como o limite interno é 4>0 e \ln é contínua em 4, aplicamos a continuidade:
\lim_{x\to 3}\ln\!\left(\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\right)=\ln\!\left(\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\right)=\ln(4).

Resposta

\ln(4)

Exercícios relacionados