Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{1-\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to \pi/4}\frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{1 - \operatorname{tg} x}.
Aqui temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0} ao substituir x=\pi/4, pois \operatorname{sen}(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2} e \operatorname{tg}(\pi/4)=1. Para resolver, vamos usar manipulação algébrica de identidades trigonométricas.

Passo 2

Reescrevemos \operatorname{tg} x como \displaystyle \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Então o denominador vira
1 - \operatorname{tg} x =1 - \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} =\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x}.
Logo a expressão original fica
\frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{1 - \operatorname{tg} x} =\frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{\,(\cos x - \operatorname{sen} x)/\cos x\,} =(\operatorname{sen} x - \cos x)\;\frac{\cos x}{\cos x - \operatorname{sen} x}.

Passo 3

Observamos que \cos x - \operatorname{sen} x = -(\operatorname{sen} x - \cos x). Substituindo,
(\operatorname{sen} x - \cos x)\;\frac{\cos x}{\cos x - \operatorname{sen} x} =(\operatorname{sen} x - \cos x)\;\frac{\cos x}{-(\operatorname{sen} x - \cos x)} =-\cos x,
válido para todo x\neq \pi/4.

Passo 4

Como a expressão simplificada é -\cos x, basta calcular o limite:
\lim_{x\to \pi/4}(-\cos x) =-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}

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