Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{7 x^{3}+x^{2}}{3 x^{3}+x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{7x^{3}+x^{2}}{3x^{3}+x^{2}+x}.
O conteúdo aqui é limites de funções racionais que resultam numa forma indeterminada 0/0, e vamos usar fatoração e simplificação para resolver.

Passo 2

Verificamos substituindo x=0 diretamente: no numerador 7\cdot0^{3}+0^{2}=0 e no denominador 3\cdot0^{3}+0^{2}+0=0. Logo, temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, o que indica que precisamos simplificar algebricamente.

Passo 3

Fatoramos o fator de menor grau em numerador e denominador. No numerador o menor grau é x^{2}, e no denominador é x. Assim,
\frac{7x^{3}+x^{2}}{3x^{3}+x^{2}+x} = \frac{x^{2}(7x+1)}{x\,(3x^{2}+x+1)}.

Passo 4

Simplificamos o fator x^{2}/x que resulta em x:
\frac{x^{2}(7x+1)}{x\,(3x^{2}+x+1)} = x\;\frac{7x+1}{3x^{2}+x+1}.

Passo 5

Agora que não temos mais indeterminação, usamos a continuidade das funções polinomiais e substituímos x\to0 em cada fator:
\lim_{x\to0}x = 0, \qquad \lim_{x\to0}\frac{7x+1}{3x^{2}+x+1} = \frac{7\cdot0+1}{3\cdot0^{2}+0+1} = 1.
Portanto, o limite do produto é 0\cdot1=0.

Resposta

0

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