Observações diretas dos dois casos (informações úteis):
Para x=\pi/2: 1-\sin(\pi/2)=0 e 2(\pi/2)-\pi=0. Logo a forma é indeterminada 0/0.
Para x=3: \sin(3-3)=0 e 3^{2}-2\cdot3-3=0. Também temos a forma indeterminada 0/0.
Passo 2
Explicação de uma ferramenta chave que usarei várias vezes: o limite trigonométrico fundamental.
A regra básica é
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Aqui t é a variável que tende a zero. Esse limite é padrão e costuma ser usado sempre que aparece \sin de algo pequeno dividido por esse mesmo algo. Vou usá-lo sem provar formalmente, mas sempre explicando como transformar as expressões para chegar na forma \dfrac{\sin t}{t}.
Passo 3
Resolver o primeiro limite passo a passo.
Fazemos a mudança de variável centralizar no ponto de interesse. Seja u=x-\dfrac{\pi}{2}. Então u\to 0 quando x\to \dfrac{\pi}{2}.
Reescrever as partes em função de u:
x=\dfrac{\pi}{2}+u.
\sin x=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+u\right)=\cos u (identidade trigonométrica: \sin(\pi/2+u)=\cos u).
Aqui foi separado \sin^{2}(u/2) = \big(\sin(u/2)\big)^{2} e multiplicado e dividido por (u/2)^{2}.
Agora aplicamos o limite quando u\to 0:
\displaystyle \frac{\sin\!\left(\dfrac{u}{2}\right)}{\dfrac{u}{2}}\to 1 pelo limite fundamental com t=\dfrac{u}{2}.
\dfrac{u}{4}\to 0.
Logo o produto tende a 1^{2}\cdot 0 = 0. Portanto o primeiro limite é 0.
(Observação alternativa rápida: poderia também aplicar a Regra de L’Hôpital porque temos forma 0/0. Derivando numerador e denominador: \dfrac{d}{dx}(1-\sin x)=-\cos x e \dfrac{d}{dx}(2x-\pi)=2; avaliando em x=\pi/2 dá -\cos(\pi/2)/2=0, mesmo resultado.)
Passo 4
Resolver o segundo limite passo a passo.
Novamente fazer mudança de variável natural: seja u=x-3. Então u\to 0 quando x\to 3.
Reescrever numerador e denominador em função de u: