Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\sin x}{2 x-\pi} \quad \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sin (x-3)}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas (sem resolver ainda).
  • São dois limites a calcular:
    1. \displaystyle \lim_{x\to \pi/2} \frac{1-\sin x}{2x-\pi}.
    2. \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sin(x-3)}{x^{2}-2x-3}.
  • Observações diretas dos dois casos (informações úteis):
    • Para x=\pi/2: 1-\sin(\pi/2)=0 e 2(\pi/2)-\pi=0. Logo a forma é indeterminada 0/0.
    • Para x=3: \sin(3-3)=0 e 3^{2}-2\cdot3-3=0. Também temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Explicação de uma ferramenta chave que usarei várias vezes: o limite trigonométrico fundamental.
  • A regra básica é
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Aqui t é a variável que tende a zero. Esse limite é padrão e costuma ser usado sempre que aparece \sin de algo pequeno dividido por esse mesmo algo. Vou usá-lo sem provar formalmente, mas sempre explicando como transformar as expressões para chegar na forma \dfrac{\sin t}{t}.

Passo 3

Resolver o primeiro limite passo a passo.
  1. Fazemos a mudança de variável centralizar no ponto de interesse. Seja u=x-\dfrac{\pi}{2}. Então u\to 0 quando x\to \dfrac{\pi}{2}.
  2. Reescrever as partes em função de u:
  • x=\dfrac{\pi}{2}+u.
  • \sin x=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+u\right)=\cos u (identidade trigonométrica: \sin(\pi/2+u)=\cos u).
  • 2x-\pi = 2\!\left(\dfrac{\pi}{2}+u\right)-\pi = 2u.
Portanto o quociente vira
\frac{1-\sin x}{2x-\pi} = \frac{1-\cos u}{2u}.
  1. Usar a identidade trigonométrica para reduzir: 1-\cos u = 2\sin^{2}\!\left(\dfrac{u}{2}\right). Substituindo:
\frac{1-\cos u}{2u} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{u}{2}\right)}{2u} = \frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{u}{2}\right)}{u}.
  1. Manipular para usar o limite \dfrac{\sin t}{t}. Escreve-se
\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{u}{2}\right)}{u} = \left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{u}{2}\right)}{\dfrac{u}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{u}{4}.
Aqui foi separado \sin^{2}(u/2) = \big(\sin(u/2)\big)^{2} e multiplicado e dividido por (u/2)^{2}.
  1. Agora aplicamos o limite quando u\to 0:
  • \displaystyle \frac{\sin\!\left(\dfrac{u}{2}\right)}{\dfrac{u}{2}}\to 1 pelo limite fundamental com t=\dfrac{u}{2}.
  • \dfrac{u}{4}\to 0.
Logo o produto tende a 1^{2}\cdot 0 = 0. Portanto o primeiro limite é 0.
(Observação alternativa rápida: poderia também aplicar a Regra de L’Hôpital porque temos forma 0/0. Derivando numerador e denominador: \dfrac{d}{dx}(1-\sin x)=-\cos x e \dfrac{d}{dx}(2x-\pi)=2; avaliando em x=\pi/2 -\cos(\pi/2)/2=0, mesmo resultado.)

Passo 4

Resolver o segundo limite passo a passo.
  1. Novamente fazer mudança de variável natural: seja u=x-3. Então u\to 0 quando x\to 3.
  2. Reescrever numerador e denominador em função de u:
  • Numerador: \sin(x-3)=\sin u.
  • Denominador: fatorar x^{2}-2x-3. Observa-se que
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Substituindo x=3+u obtém-se
x+1=(3+u)+1=4+u,
portanto
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1) = u(4+u).
  1. Assim o quociente fica
\frac{\sin(x-3)}{x^{2}-2x-3} = \frac{\sin u}{u(4+u)} = \left(\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\frac{1}{4+u}.
  1. Aplicar limites conforme u\to 0:
  • \dfrac{\sin u}{u}\to 1 pelo limite fundamental.
  • \dfrac{1}{4+u}\to \dfrac{1}{4}.
Portanto o produto tende a \;1\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.

Resposta

\;0
\;\dfrac{1}{4}

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