(2,0 pontos) Resolva os itens a seguir:
(a) Prove, utilizando o princípio da induçāo matemática, que
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \text { para todo } n \geq 1 .
(b) Utilizando o resultado do item anterior, determine a soma
2+4+6+8+\cdots+2 n
(c) Utilizando os resultados obtidos nos itens anteriores, determine a soma
1+3+5+7+\cdots+(2 n-1)

Passo 1

O enunciado pede três coisas bem claras e separadas:
  • (a) Provar que 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},\quad\text{para todo }n\ge 1.
  • (b) Utilizar o resultado do item (a) para determinar 2+4+6+8+\cdots+2n.
  • (c) Utilizar os resultados anteriores para determinar 1+3+5+7+\cdots+(2n-1).
Informações/condições dadas:
  • Em (a) temos uma soma dos inteiros positivos de 1 até n.
  • Em (b) temos uma soma dos primeiros n números pares.
  • Em (c) temos uma soma dos primeiros n números ímpares.

Passo 2

Vou explicar o princípio da indução matemática (porque vou usá-lo no item (a)) de forma simples e prática.
O princípio da indução funciona assim:
  1. Base (caso inicial): prova-se que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor, normalmente n=1.
  2. Passo indutivo: assume-se que a afirmação é verdadeira para um inteiro arbitrário k\ge 1 (essa suposição chama-se hipótese de indução) e, usando essa hipótese, prova-se que a afirmação também é verdadeira para k+1.
    Se os dois passos (base e passo indutivo) forem feitos, então a afirmação vale para todo n\ge 1.
Vou aplicar exatamente isso ao item (a).

Passo 3

Base da indução (caso n=1).
Escrever a soma quando n=1:
1 = \frac{1(1+1)}{2}.
Calcule o lado direito:
\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=1.
Portanto a igualdade é verdadeira para n=1. A base está verificada.

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um k arbitrário, isto é, suponha a hipótese de indução:
1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}.
Agora precisamos provar que a fórmula vale para k+1, ou seja, mostrar:
1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}.
Começamos com o lado esquerdo e usamos a hipótese de indução para substituir a soma até k:
1+2+\cdots+k+(k+1) = \underbrace{1+2+\cdots+k}_{=\frac{k(k+1)}{2}}+(k+1).
Substituindo:
\frac{k(k+1)}{2}+(k+1).
Coloca-se fator comum (k+1):
\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=(k+1)\left(\frac{k}{2}+1\right).
Somando as frações dentro do parêntese:
\frac{k}{2}+1=\frac{k}{2}+\frac{2}{2}=\frac{k+2}{2}.
Portanto
(k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right)=\frac{(k+1)(k+2)}{2},
que é exatamente o que queríamos provar para k+1. Assim o passo indutivo está concluído.
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo n\ge 1.

Passo 5

Agora o item (b). Vamos usar o resultado do item (a).
Observe que a soma dos primeiros n números pares pode ser escrita como 2 vezes a soma dos inteiros de 1 a n, porque cada termo é 2 multiplicado por um inteiro:
2+4+6+\cdots+2n=2(1+2+3+\cdots+n).
Pelo item (a) sabemos que 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}. Substituindo:
2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{2\,n(n+1)}{2}=n(n+1).
Portanto
2+4+6+\cdots+2n = n(n+1).

Passo 6

Agora o item (c). Queremos a soma dos n primeiros números ímpares:
1+3+5+\cdots+(2n-1).
Uma forma simples de obter essa soma é subtrair a soma dos n primeiros pares da soma dos 2n primeiros inteiros (isto é, separar os 2n inteiros em pares e ímpares).
A soma dos 2n primeiros inteiros é, pelo item (a) com n substituído por 2n:
1+2+3+\cdots+(2n)=\frac{(2n)(2n+1)}{2}=n(2n+1).
A soma dos n primeiros números pares já foi encontrada no passo anterior:
2+4+\cdots+2n = n(n+1).
Subtraindo “pares” de “primeiros 2n inteiros” obtemos a soma dos n ímpares:
1+3+5+\cdots+(2n-1)=\bigl(1+2+\cdots+2n\bigr)-\bigl(2+4+\cdots+2n\bigr).
Substituindo as expressões encontradas:
n(2n+1)-n(n+1).
Fatora-se n:
n\bigl(2n+1-(n+1)\bigr)=n\bigl(2n+1-n-1\bigr)=n(n).
Portanto
1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.
Uma observação rápida e intuitiva: a soma dos primeiros n ímpares dá sempre um quadrado perfeito, n^2 — por exemplo, 1+3+5=9=3^2. Isso é consistente com o cálculo acima.

Resposta

(a) 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
(b) 2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)
(c) 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2

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