Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{3}+5 x+1}}{3 x^{2}+x} \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{3}+2}-\sqrt{2 x^{2}+6}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de dois limites quando x \to \infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+5 x+1}}{3 x^{2}+x}.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} \big(\sqrt{x^{3}+2}-\sqrt{2 x^{2}+6}\big).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As expressões envolvem radicais (raízes quadradas) de polinômios em x.
  • O comportamento para x\to\infty é determinado pelos termos de maior grau em cada polinômio (termos dominantes).

Passo 2

Conceito e método que vou usar (explicação didática):
  • Quando x cresce muito, os termos de maior potência em um polinômio dominam os menores. Por exemplo, para grandes x, x^{3} domina x e 1.
  • Para radicais, uma técnica muito útil é fatorar a maior potência de x que aparece dentro da raiz: \sqrt{x^{3}+ \cdots}=\sqrt{x^{3}}\sqrt{1+\cdots} = x^{3/2}\sqrt{1+\cdots}. Isso deixa explícita a ordem de grandeza (por exemplo x^{3/2}).
  • Para frações, também é comum dividir numerador e denominador por uma potência de x que torne explícito o comportamento limite (ou fatorar potências semelhantes).
  • Regra de limite usada: se a(x)\to 0 e b(x)\to L finito, então a(x)\,b(x)\to 0.
Vou aplicar esses passos para cada limite.

Passo 3

Cálculo do primeiro limite \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+5 x+1}}{3 x^{2}+x}.
  1. Factoro a potência dominante dentro da raiz: dentro da raiz o termo dominante é x^{3}. Então
\sqrt{x^{3}+5x+1}=\sqrt{x^{3}\!\left(1+\frac{5x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}\right)} = x^{3/2}\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}.
  1. Escrevo o denominador explicitando o fator dominante x^{2}:
3x^{2}+x = x^{2}\left(3+\frac{1}{x}\right).
  1. Substituo na fração:
\frac{\sqrt{x^{3}+5x+1}}{3x^{2}+x} = \frac{x^{3/2}\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}}{x^{2}\left(3+\frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{x^{1/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}}{3+\frac{1}{x}}.
  1. Agora tomo limite termo a termo quando x\to\infty:
  • \displaystyle \frac{1}{x^{1/2}}\to 0.
  • \displaystyle \sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}\to \sqrt{1}=1 porque \frac{5}{x^{2}}\to 0 e \frac{1}{x^{3}}\to 0.
  • \displaystyle 3+\frac{1}{x}\to 3.
Como o produto tem um fator que vai a 0 multiplicando outro que tende a um número finito, o produto tende a 0. Portanto o limite é 0.

Passo 4

Cálculo do segundo limite \displaystyle \lim_{x\to\infty} \big(\sqrt{x^{3}+2}-\sqrt{2 x^{2}+6}\big).
  1. Identifico os termos dominantes de cada raiz:
  • Em \sqrt{x^{3}+2} o termo dominante é x^{3}, logo essa raiz tem ordem de grandeza x^{3/2}.
  • Em \sqrt{2x^{2}+6} o termo dominante é x^{2}, logo essa raiz tem ordem de grandeza x.
Como x^{3/2} cresce muito mais rápido que x quando x\to\infty (pois 3/2>1), espera-se que a diferença tenda a +\infty. Vou fazer isso de forma rigorosa fatorando x^{3/2}.
  1. Fatore x^{3/2} de ambas as raízes (isso fica conveniente porque é a maior ordem presente):
\sqrt{x^{3}+2}=x^{3/2}\sqrt{1+\frac{2}{x^{3}}}, \qquad \sqrt{2x^{2}+6}=x^{3/2}\sqrt{\frac{2x^{2}+6}{x^{3}}} = x^{3/2}\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{6}{x^{3}}}.
  1. Escrevo a diferença:
\sqrt{x^{3}+2}-\sqrt{2x^{2}+6} = x^{3/2}\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^{3}}}-\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{6}{x^{3}}}\right).
  1. Analiso o comportamento do parêntese quando x\to\infty:
  • \displaystyle \sqrt{1+\frac{2}{x^{3}}}\to 1 (pois \frac{2}{x^{3}}\to 0).
  • \displaystyle \sqrt{\frac{2}{x}+\frac{6}{x^{3}}}\to 0 (pois \frac{2}{x}\to 0 e \frac{6}{x^{3}}\to 0).
Logo o fator entre parênteses tende a 1-0=1.
  1. Como x^{3/2}\to\infty e o parêntese tende a 1 (um número positivo), o produto tende a +\infty. Portanto a diferença diverge para +\infty.

Resposta

\;0
+\infty

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