Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de dois limites quando
:
-
. -
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As expressões envolvem radicais (raízes quadradas) de polinômios em
. - O comportamento para
é determinado pelos termos de maior grau em cada polinômio (termos dominantes).
Passo 2
Conceito e método que vou usar (explicação didática):
- Quando
cresce muito, os termos de maior potência em um polinômio dominam os menores. Por exemplo, para grandes , domina e . - Para radicais, uma técnica muito útil é fatorar a maior potência de
que aparece dentro da raiz: . Isso deixa explícita a ordem de grandeza (por exemplo ). - Para frações, também é comum dividir numerador e denominador por uma potência de
que torne explícito o comportamento limite (ou fatorar potências semelhantes). - Regra de limite usada: se
e finito, então .
Vou aplicar esses passos para cada limite.
Passo 3
Cálculo do primeiro limite
.
- Factoro a potência dominante dentro da raiz: dentro da raiz o termo dominante é
. Então
- Escrevo o denominador explicitando o fator dominante
:
- Substituo na fração:
- Agora tomo limite termo a termo quando
:
-
. -
porque e . -
.
Como o produto tem um fator que vai a
multiplicando outro que tende a um número finito, o produto tende a
. Portanto o limite é
.
Passo 4
Cálculo do segundo limite
.
- Identifico os termos dominantes de cada raiz:
- Em
o termo dominante é , logo essa raiz tem ordem de grandeza . - Em
o termo dominante é , logo essa raiz tem ordem de grandeza .
Como
cresce muito mais rápido que
quando
(pois
), espera-se que a diferença tenda a
. Vou fazer isso de forma rigorosa fatorando
.
- Fatore
de ambas as raízes (isso fica conveniente porque é a maior ordem presente):
- Escrevo a diferença:
- Analiso o comportamento do parêntese quando
:
-
(pois ). -
(pois e ).
Logo o fator entre parênteses tende a
.
- Como
e o parêntese tende a (um número positivo), o produto tende a . Portanto a diferença diverge para .