Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 3} \sqrt{x+1}.
Informações dadas/úteis: a função considerada é f(x)=\sqrt{x+1}; o ponto de aproximação é x=3. Observação sobre domínio: a expressão \sqrt{x+1} está definida quando x+1\ge 0, ou seja para x\ge -1. Note que x=3 pertence a esse domínio.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular esse limite (intuitivamente): queremos saber qual valor \sqrt{x+1} se aproxima quando x fica cada vez mais próximo de 3. Em outras palavras, existe um número L tal que, ao pegar x muito próximo de 3, os valores de \sqrt{x+1} ficam muito próximos de L? Se sim, esse L é o limite.

Passo 3

No cálculo de limites, uma ferramenta muito útil é o conceito de continuidade. Uma função f é contínua em um ponto a quando três coisas acontecem: (i) f(a) está definida, (ii) o limite \lim_{x\to a} f(x) existe, e (iii) \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Para funções construídas por operações básicas, podemos usar propriedades conhecidas: a função g(x)=x+1 é contínua em todo lugar, e a função h(y)=\sqrt{y} é contínua para y\ge 0. A composição de funções contínuas é contínua no ponto em que tudo está definido. Portanto, f(x)=h(g(x))=\sqrt{x+1} é contínua em quaisquer x tais que x+1\ge0. Como vimos no Passo 1, x=3 satisfaz essa condição, logo f é contínua em 3.

Passo 4

Pelo fato de f(x)=\sqrt{x+1} ser contínua em x=3, podemos calcular o limite simplesmente substituindo x por 3:
\lim_{x\to 3} \sqrt{x+1} = \sqrt{3+1}.
Agora calculamos \sqrt{3+1}=\sqrt{4}. Sabemos que \sqrt{4}=2, porque 2^2=4.

Passo 5

Verificação final: a substituição foi válida porque 3 está no domínio da função (conforme Passo 1) e a função é contínua ali (Passo 3). Portanto o limite existe e é igual ao valor calculado.

Resposta

2

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