Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas/úteis: a função considerada é
; o ponto de aproximação é
. Observação sobre domínio: a expressão
está definida quando
, ou seja para
. Note que
pertence a esse domínio.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular esse limite (intuitivamente): queremos saber qual valor
se aproxima quando
fica cada vez mais próximo de
. Em outras palavras, existe um número
tal que, ao pegar
muito próximo de
, os valores de
ficam muito próximos de
? Se sim, esse
é o limite.
Passo 3
No cálculo de limites, uma ferramenta muito útil é o conceito de continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
quando três coisas acontecem: (i)
está definida, (ii) o limite
existe, e (iii)
. Para funções construídas por operações básicas, podemos usar propriedades conhecidas: a função
é contínua em todo lugar, e a função
é contínua para
. A composição de funções contínuas é contínua no ponto em que tudo está definido. Portanto,
é contínua em quaisquer
tais que
. Como vimos no Passo 1,
satisfaz essa condição, logo
é contínua em
.
Passo 4
Pelo fato de
ser contínua em
, podemos calcular o limite simplesmente substituindo
por
:
Agora calculamos
. Sabemos que
, porque
.
Passo 5
Verificação final: a substituição foi válida porque
está no domínio da função (conforme Passo 1) e a função é contínua ali (Passo 3). Portanto o limite existe e é igual ao valor calculado.