Considerando \vec{V}(x, y, z)=u \hat{i}+v \hat{j}+w \hat{k}, um campo vetorial derivável com u=4\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}\right), \quad v=3\left(x y-5 y^{2}\right) e w=2 z, calcule:
O divergente de \vec{V}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{V}(x,y,z)=u\,\hat{i}+v\,\hat{j}+w\,\hat{k} com as componentes
u=4\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),\qquad v=3\bigl(xy-5y^{2}\bigr),\qquad w=2z.
A pergunta é: calcular o divergente de \vec{V}, ou seja, encontrar o valor de \nabla\cdot\vec{V} em termos de x,y,z.

Passo 2

Definição e interpretação do que vamos calcular. O divergente de um campo vetorial \vec{V}=u\,\hat{i}+v\,\hat{j}+w\,\hat{k} é dado por
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui cada termo é uma derivada parcial: \frac{\partial u}{\partial x} significa derivar u tratando y e z como constantes, e de forma análoga para os outros termos.

Passo 3

Calcular \frac{\partial u}{\partial x}. Escrevemos u explicitamente:
u=4\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Derivando em relação a x, o termo y^{2} é constante (derivada zero) e \frac{d}{dx}x^{2}=2x. Assim
\frac{\partial u}{\partial x}=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=4\cdot(2x+0)=8x.

Passo 4

Calcular \frac{\partial v}{\partial y}. Escrevemos v:
v=3\bigl(xy-5y^{2}\bigr).
Ao derivar em relação a y, x é tratado como constante. Temos \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x e \frac{\partial}{\partial y}(-5y^{2})=-10y. Multiplicando pelo fator 3,
\frac{\partial v}{\partial y}=3\cdot\bigl(x-10y\bigr)=3x-30y.

Passo 5

Calcular \frac{\partial w}{\partial z}. Escrevemos w:
w=2z.
Derivando em relação a z,
\frac{\partial w}{\partial z}=2.

Passo 6

Somar os três termos para obter o divergente:
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=8x+(3x-30y)+2.
Agrupando termos semelhantes:
8x+3x-30y+2=11x-30y+2.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (dica prática para prova): cada componente contribui com uma derivada simples e não há termos mistos envolvendo z nas primeiras duas componentes, então é natural obter uma expressão linear em x e y mais uma constante — exatamente o que apareceu. Respira, está certo!

Resposta

11x-30y+2

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