Considerando \vec{V}(x, y, z)=u \hat{i}+v \hat{j}+w \hat{k}, um campo vetorial derivável com u=4\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}\right), \quad v=3\left(x y-5 y^{2}\right) e w=2 z, calcule:
O rotacional de \vec{V}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial \vec{V}(x,y,z)=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}. As informações dadas são:
u=4\left(x^{2}+y^{2}\right),
v=3\left(xy-5y^{2}\right),
w=2z.
Portanto a única pergunta é: encontrar \nabla\times\vec{V} (o rotacional de \vec{V}) usando os componentes u,v,w acima.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do rotacional em coordenadas cartesianas. O rotacional de um campo \vec{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k} é o vetor cujas componentes são dadas por derivadas parciais:
\nabla\times\vec{V}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\hat{k}.
Explicando devagar: \partial/\partial x significa “derivar em relação a x mantendo y,z constantes” (o mesmo para \partial/\partial y e \partial/\partial z). Para cada componente do rotacional combinamos duas derivadas parciais conforme a fórmula acima.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u. Temos u=4(x^2+y^2).
  • Derivada de u em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=4\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=4\cdot(2x+0)=8x.
Aqui usamos que \partial x^2/\partial x=2x e \partial y^2/\partial x=0 porque y é tratado como constante.
  • Derivada de u em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=4\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=4\cdot(0+2y)=8y.
  • Derivada de u em relação a z:
\frac{\partial u}{\partial z}=0,
pois u não depende de z.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de v. Temos v=3(xy-5y^2).
  • Derivada de v em relação a x:
\frac{\partial v}{\partial x}=3\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy-5y^2)=3\cdot(y-0)=3y,
porque \partial(xy)/\partial x=y (tratando y como constante) e \partial(5y^2)/\partial x=0.
  • Derivada de v em relação a y:
\frac{\partial v}{\partial y}=3\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy-5y^2)=3\cdot(x-10y)=3x-30y,
pois \partial(xy)/\partial y=x e \partial(5y^2)/\partial y=10y.
  • Derivada de v em relação a z:
\frac{\partial v}{\partial z}=0,
pois v não depende de z.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de w. Temos w=2z.
  • Derivada de w em relação a x:
\frac{\partial w}{\partial x}=0,
pois w não depende de x.
  • Derivada de w em relação a y:
\frac{\partial w}{\partial y}=0,
pois w não depende de y.
  • Derivada de w em relação a z:
\frac{\partial w}{\partial z}=2,
pois \partial(2z)/\partial z=2.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do rotacional e substituímos as derivadas que calculamos.
  • Componente \hat{i}:
\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \hat{j}:
\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=0-0=0.
  • Componente \hat{k}:
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=3y-8y=-5y.
Portanto o rotacional é
\nabla\times\vec{V}=0\cdot\hat{i}+0\cdot\hat{j}+(-5y)\hat{k}=-5y\,\hat{k}.

Resposta

\nabla\times\vec{V}=-5y\,\hat{k}

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