Considerando
, um campo vetorial derivável com
e
, calcule:
O rotacional de
O rotacional de
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial
. As informações dadas são:
Portanto a única pergunta é: encontrar
(o rotacional de
) usando os componentes
acima.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática do rotacional em coordenadas cartesianas. O rotacional de um campo
é o vetor cujas componentes são dadas por derivadas parciais:
Explicando devagar:
significa “derivar em relação a
mantendo
constantes” (o mesmo para
e
). Para cada componente do rotacional combinamos duas derivadas parciais conforme a fórmula acima.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Temos
.
- Derivada de
em relação a :
Aqui usamos que
e
porque
é tratado como constante.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
pois
não depende de
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Temos
.
- Derivada de
em relação a :
porque
(tratando
como constante) e
.
- Derivada de
em relação a :
pois
e
.
- Derivada de
em relação a :
pois
não depende de
.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
. Temos
.
- Derivada de
em relação a :
pois
não depende de
.
- Derivada de
em relação a :
pois
não depende de
.
- Derivada de
em relação a :
pois
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do rotacional e substituímos as derivadas que calculamos.
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto o rotacional é