1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0}(1-3 x)^{6 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 0}(1-3x)^{6/x}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é x.
  • A expressão é uma potência onde a base tende para 1 quando x\to 0 e o expoente tende para \pm\infty (pois \tfrac{6}{x} diverge quando x\to0).
    A tarefa é encontrar o valor numérico do limite (se existir).

Passo 2

Estratégia prática (passo a passo que será usada): quando temos limites de expressões do tipo (\text{algo que tende a }1)^{\text{algo que tende a }\infty}, é muito útil tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Então definimos
y=(1-3x)^{6/x}
e estudamos o limite de \ln y. Isso é permitido porque a função exponencial é contínua e a base (1-3x) é positiva perto de x=0, logo saber o limite de \ln y nos dá o limite de y por
\lim_{x\to0} y = \exp\!\left(\lim_{x\to0} \ln y\right),
desde que o limite de \ln y exista (finito).

Passo 3

Calculemos \ln y:
\ln y = \frac{6}{x}\,\ln(1-3x).
Queremos \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{6}{x}\ln(1-3x). Reescrevemos isolando um fator que simplifica:
\frac{6}{x}\ln(1-3x)=\frac{6}{x}\cdot(-3x)\cdot\frac{\ln(1-3x)}{-3x}.
Agora simplificamos \frac{6}{x}\cdot(-3x)=6\cdot(-3)=-18. Assim
\frac{6}{x}\ln(1-3x) = -18\cdot\frac{\ln(1-3x)}{-3x}.

Passo 4

Precisamos do valor de \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{-3x}. Faça a mudança de variável \,t=-3x. Quando x\to0 tem-se t\to0. Então
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{-3x} = \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Há um limite padrão (muito útil) que diz
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Uma forma rápida de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente \dfrac{\ln(1+t)}{t}: derivando numerador e denominador em relação a t obtemos \dfrac{1/(1+t)}{1} e o valor em t=0 é 1. Portanto o limite vale 1.

Passo 5

Voltando à expressão de \ln y, temos
\lim_{x\to0}\ln y = \lim_{x\to0}\left[-18\cdot\frac{\ln(1-3x)}{-3x}\right] = -18\cdot 1 = -18.

Passo 6

Como \lim_{x\to0}\ln y = -18, aplicamos a exponencial para recuperar y:
\lim_{x\to0} y = \exp\!\left(\lim_{x\to0}\ln y\right) = e^{-18}.

Passo 7

(Salve-mente) Verificação rápida por expansão: usando a expansão \ln(1+u)=u+o(u) para u\to0 com u=-3x, obtém-se \ln(1-3x)=-3x+o(x). Multiplicando por 6/x -18+o(1), que confirma o resultado -18 para \ln y e e^{-18} para a expressão original.

Resposta

e^{-18}

Exercícios relacionados