- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão é uma potência onde a base tende para
quando e o expoente tende para (pois diverge quando ).
A tarefa é encontrar o valor numérico do limite (se existir).
Passo 2
Estratégia prática (passo a passo que será usada): quando temos limites de expressões do tipo
, é muito útil tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Então definimos
e estudamos o limite de
. Isso é permitido porque a função exponencial é contínua e a base
é positiva perto de
, logo saber o limite de
nos dá o limite de
por
desde que o limite de
exista (finito).
Passo 3
Calculemos
:
Queremos
. Reescrevemos isolando um fator que simplifica:
Agora simplificamos
. Assim
Passo 4
Precisamos do valor de
. Faça a mudança de variável
. Quando
tem-se
. Então
Há um limite padrão (muito útil) que diz
Uma forma rápida de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente
: derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
e o valor em
é
. Portanto o limite vale
.
Passo 5
Voltando à expressão de
, temos
Passo 6
Como
, aplicamos a exponencial para recuperar
:
Passo 7
(Salve-mente) Verificação rápida por expansão: usando a expansão
para
com
, obtém-se
. Multiplicando por
dá
, que confirma o resultado
para
e
para a expressão original.