- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a zero da expressão
Informações dadas e o que se precisa encontrar:
- A função considerada é
. - O ponto pelo qual
tende é . - O objetivo é calcular o valor numérico do limite
.
Passo 2
Observação sobre a forma indeterminada e a positividade da expressão:
- Quando
tem-se , então a base tende a . - O expoente
tende a quando e a quando . Portanto a expressão apresenta a forma indeterminada do tipo . - Note também que, para
suficientemente próximo de (mais precisamente para ), a quantidade é positiva; assim é positiva perto de e podemos aplicar o logaritmo natural sem problemas.
Passo 3
Estratégia padrão para limites da forma
: tomar logaritmo para transformar potência em produto e avaliar o limite do expoente logaritmado. Defina
Como
perto de
, podemos escrever
Se conseguirmos calcular o limite à direita, chamando-o de
, então
pela continuidade da função exponencial.
Passo 4
Calcular
. Faço a substituição
. Quando
também
, e
Agora uso o limite bem conhecido (que pode ser obtido pelo desenvolvimento em série ou por l’Hôpital):
Portanto
Passo 5
Voltando ao passo do logaritmo: encontramos
. Aplicando a função exponencial para obter
,
Isso mostra que o limite existe (ainda que o expoente
mude de sinal dependendo do lado) porque a combinação no expoente logaritmado tende a um número finito.