1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{2 / x}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a zero da expressão
(1+2x)^{2/x}.
Informações dadas e o que se precisa encontrar:
  • A função considerada é f(x)=(1+2x)^{2/x}.
  • O ponto pelo qual x tende é 0.
  • O objetivo é calcular o valor numérico do limite \lim_{x\to 0}(1+2x)^{2/x}.

Passo 2

Observação sobre a forma indeterminada e a positividade da expressão:
  • Quando x\to 0 tem-se \lim_{x\to 0}(1+2x)=1, então a base tende a 1.
  • O expoente \dfrac{2}{x} tende a +\infty quando x\to 0^+ e a -\infty quando x\to 0^-. Portanto a expressão apresenta a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.
  • Note também que, para x suficientemente próximo de 0 (mais precisamente para |x|<\tfrac12), a quantidade 1+2x é positiva; assim f(x) é positiva perto de 0 e podemos aplicar o logaritmo natural sem problemas.

Passo 3

Estratégia padrão para limites da forma 1^{\infty}: tomar logaritmo para transformar potência em produto e avaliar o limite do expoente logaritmado. Defina
L=\lim_{x\to 0}(1+2x)^{2/x}.
Como f(x)>0 perto de 0, podemos escrever
\ln L=\lim_{x\to 0}\ln\big((1+2x)^{2/x}\big)=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1+2x).
Se conseguirmos calcular o limite à direita, chamando-o de A, então L=\mathrm{e}^{A} pela continuidade da função exponencial.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1+2x). Faço a substituição u=2x. Quando x\to 0 também u\to 0, e
\frac{2}{x}\ln(1+2x)=\frac{2}{x}\ln(1+u)=\frac{2}{u/2}\ln(1+u)=\frac{4}{u}\ln(1+u)=4\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora uso o limite bem conhecido (que pode ser obtido pelo desenvolvimento em série ou por l’Hôpital):
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1+2x)=4\cdot 1=4.

Passo 5

Voltando ao passo do logaritmo: encontramos \ln L=4. Aplicando a função exponencial para obter L,
L=\mathrm{e}^{4}.
Isso mostra que o limite existe (ainda que o expoente \tfrac{2}{x} mude de sinal dependendo do lado) porque a combinação no expoente logaritmado tende a um número finito.

Resposta

\mathrm{e}^{4}

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