- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas que vamos usar: o termo dentro da potência é
e o expoente é
. O objetivo é encontrar o valor numérico da expressão quando
se aproxima de
.
Passo 2
Estratégia inicial (apenas apresentação da ideia): uma técnica padrão para limites onde a variável aparece no expoente é tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo e depois voltar pela exponencial. Isso funciona porque a função exponencial é contínua; ou seja, se
e
, então
.
Seja
Vamos calcular
encontrando primeiro
.
Passo 3
Calcule o logaritmo:
Queremos então
Passo 4
Para avaliar esse limite, faça a mudança de variável
. Quando
temos
. Reescrevendo:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos de
. Esse é um limite muito conhecido e pode ser justificado assim (mini-aula curta):
- Observação: quando
temos forma indeterminada , pois . Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a ,
- Intuição alternativa (sem L’Hôpital): para
pequeno, , ou seja, a razão tende a . Ambas justificativas dão o mesmo resultado.
Assim
Passo 6
Voltando à expressão de
,
Como a exponencial é contínua, obtemos o limite original:
Passo 7
(Verificação rápida via desenvolvimento de série — intuição) Se quiser ver por que isso faz sentido ao nível das séries, usar
dá
que também mostra que o expoente tende a
, logo a expressão tende a
.