1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0}(1+13 x)^{-1 / x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to0}(1+13x)^{-1/x}.
Informações dadas que vamos usar: o termo dentro da potência é 1+13x e o expoente é -1/x. O objetivo é encontrar o valor numérico da expressão quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Estratégia inicial (apenas apresentação da ideia): uma técnica padrão para limites onde a variável aparece no expoente é tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo e depois voltar pela exponencial. Isso funciona porque a função exponencial é contínua; ou seja, se y(x)>0 e \lim_{x\to0}\ln y(x)=L, então \lim_{x\to0}y(x)=\mathrm{e}^{L}.
Seja
y(x)=(1+13x)^{-1/x}.
Vamos calcular \lim_{x\to0}y(x) encontrando primeiro \lim_{x\to0}\ln y(x).

Passo 3

Calcule o logaritmo:
\ln y(x)=\ln\big((1+13x)^{-1/x}\big) = -\frac{1}{x}\ln(1+13x).
Queremos então
\lim_{x\to0}\ln y(x)=\lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x}\ln(1+13x)\right).

Passo 4

Para avaliar esse limite, faça a mudança de variável t=13x. Quando x\to0 temos t\to0. Reescrevendo:
\ln y(x) = -\frac{1}{x}\ln(1+13x) = -\frac{13}{t}\ln(1+t) = -13\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.
Portanto
\lim_{x\to0}\ln y(x) = -13\cdot\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Agora precisamos de \lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}. Esse é um limite muito conhecido e pode ser justificado assim (mini-aula curta):
  • Observação: quando t\to0 temos forma indeterminada 0/0, pois \ln(1+0)=0. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a t,
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to0}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t} = \lim_{t\to0}\frac{1}{1+t} = 1.
  • Intuição alternativa (sem L’Hôpital): para t pequeno, \ln(1+t)=t+o(t), ou seja, a razão \ln(1+t)/t tende a 1. Ambas justificativas dão o mesmo resultado.
Assim
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 6

Voltando à expressão de \ln y(x),
\lim_{x\to0}\ln y(x) = -13\cdot 1 = -13.
Como a exponencial é contínua, obtemos o limite original:
\lim_{x\to0}y(x)=\lim_{x\to0}(1+13x)^{-1/x} = \mathrm{e}^{-13}.

Passo 7

(Verificação rápida via desenvolvimento de série — intuição) Se quiser ver por que isso faz sentido ao nível das séries, usar \ln(1+13x)=13x + O(x^2)
-\frac{1}{x}\ln(1+13x) = -\frac{1}{x}\big(13x + O(x^2)\big) = -13 + O(x),
que também mostra que o expoente tende a -13, logo a expressão tende a \mathrm{e}^{-13}.

Resposta

\mathrm{e}^{-13}

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