Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A variável
tende para .
A pergunta é: qual o valor desse limite?
Passo 2
Uma ideia-chave: para bases positivas, a potência de expoente real pode ser escrita usando a exponencial natural. Escrevemos
onde
é o logaritmo natural de
(uma constante). Vou explicar por que isso é útil:
- A função
é contínua em todo . - A função
é contínua (produto de por uma constante ). - A composição de funções contínuas é contínua. Logo
é contínua.
Uma consequência prática: se uma função é contínua em
, o limite quando
é igual ao valor da função em
(substituição direta).
Passo 3
Usando a representação exponencial, calculamos o limite transformado:
Passo 4
Como
é contínua, o limite da composição é o exponencial do limite do expoente. Primeiro calculamos o limite do expoente:
pois
é constante e
.
Passo 5
Aplicando a continuidade de
:
Agora simplificamos:
Dica prática para a prova: como
é contínua, basta substituir
diretamente, dando
. Outro exemplo rápido:
.
Resposta
9