Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} 3^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} 3^{x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é x\mapsto 3^{x}.
  • A variável x tende para 2.
    A pergunta é: qual o valor desse limite?

Passo 2

Uma ideia-chave: para bases positivas, a potência de expoente real pode ser escrita usando a exponencial natural. Escrevemos
3^{x}=e^{x\ln 3},
onde \ln 3 é o logaritmo natural de 3 (uma constante). Vou explicar por que isso é útil:
  • A função t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto x\ln 3 é contínua (produto de x por uma constante \ln 3).
  • A composição de funções contínuas é contínua. Logo x\mapsto e^{x\ln 3}=3^{x} é contínua.
Uma consequência prática: se uma função é contínua em x=2, o limite quando x\to2 é igual ao valor da função em 2 (substituição direta).

Passo 3

Usando a representação exponencial, calculamos o limite transformado:
\lim_{x\to 2} 3^{x}=\lim_{x\to 2} e^{x\ln 3}.

Passo 4

Como e^{t} é contínua, o limite da composição é o exponencial do limite do expoente. Primeiro calculamos o limite do expoente:
\lim_{x\to 2} x\ln 3 = \left(\lim_{x\to 2} x\right)\ln 3 = 2\ln 3,
pois \ln 3 é constante e \lim_{x\to2} x=2.

Passo 5

Aplicando a continuidade de e^{t}:
\lim_{x\to 2} e^{x\ln 3}=e^{\,\lim_{x\to 2} x\ln 3}=e^{2\ln 3}.
Agora simplificamos:
e^{2\ln 3}=\bigl(e^{\ln 3}\bigr)^{2}=3^{2}=9.
Dica prática para a prova: como 3^{x} é contínua, basta substituir x=2 diretamente, dando 3^{2}=9. Outro exemplo rápido: \lim_{x\to 0}3^{x}=3^{0}=1.

Resposta

9

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