Exercício 2.31. Suponha que trabalhamos em ZF sem o axioma do infinito. O que pode ser feito em relação aos números naturais e o que não pode ser garantido?

Passo 1

O enunciado diz que trabalhamos em ZF sem o axioma do infinito. A pergunta é: o que pode ser feito em relação aos números naturais e o que não pode ser garantido nessa teoria?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Estamos em ZF menos o axioma do infinito (vou chamar isso de ZF−Inf).
  • Não foi acrescentado nenhum outro axioma extra (nem a negação do infinito).
  • A questão pede duas coisas: (i) quais construções e propriedades sobre os naturais ainda são possíveis em ZF−Inf; (ii) quais fatos sobre os naturais não podem ser garantidos (isto é, não são prováveis a partir de ZF−Inf).

Passo 2

Construção dos naturais finitos um a um: existência de 0 e do sucessor.
  • Pelo axioma do conjunto vazio (axioma do vazio) existe o conjunto vazio \varnothing. É natural identificar o número zero com \varnothing, isto é, tomar 0=\varnothing.
    Explicando: o axioma do vazio garante um conjunto sem elementos; isso é suficiente para ter uma representação de 0.
  • Definição do sucessor de um conjunto x: use-se a definição de von Neumann S(x)=x\cup\{x\}.Vou mostrar como, com os axiomas de Pairing e Union, se constrói S(x) a partir de x:
    1. Pelo axioma de Pairing, a partir de x e x obtém-se \{x\}. (Pairing aplicado a x,x dá o conjunto unitário \{x\}.)
    2. Novamente pelo axioma de Pairing, a partir de x e de \{x\} obtém-se \{x,\{x\}\}.
    3. Pelo axioma da União, \bigcup\{x,\{x\}\} = x\cup\{x\}. Logo S(x) existe.
  • Consequência prática: a partir de 0=\varnothing e do procedimento acima pode-se construir explicitamente 1=S(0)=\{\varnothing\}, 2=S(1)=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}, 3=S(2) e assim por diante. Para cada numeral natural fixo n (pensando em n como um número natural na linguagem meta), ZF−Inf prova a existência do ordinal de von Neumann correspondente a esse n por aplicações finitas do sucessor.
Comentário didático curto: isto significa que todos os números naturais “isolados” e as operações sucessor (e construções explícitas finitas) existem dentro de ZF−Inf — você pode escrever e provar dentro da teoria que 0, 1, 2, …, n existem, para qualquer n fixo.

Passo 3

O que se consegue provar sobre propriedades básicas (Peano-parte local) dos numerais finitos.
  • Para cada n fixo, é possível provar as propriedades típicas: 0\neq S(x) para qualquer x, e S(x)=S(y)\Rightarrow x=y quando x,y são ordinais construídos por esse procedimento (isto decorre da forma como o sucessor foi definido e dos axiomas de extensionalidade). Em outras palavras, as propriedades que mostram que o sucessor é injetor e que 0 não é sucessor valem para os objetos construídos.
  • Também se pode verificar finitamente igualdade entre numerais: por exemplo provar que 2 é S(S(0)) e que 2\neq 3 etc., porque cada um desses objetos é um conjunto concreto que existe em ZF−Inf.
Didaticamente: todas as provas que manipulam apenas um número finito de passos/objetos são possíveis — qualquer argumento que só precise dos primeiros n naturais (com n fixo) pode ser formalizado e provado.

Passo 4

O que NÃO pode ser garantido: inexistência de um conjunto contendo “todos os naturais” e a independência do axioma do infinito.
  • ZF−Inf não prova a existência de um conjunto infinito. Em particular, ZF−Inf não prova que existe um conjunto X tal que 0\in X e (\forall x\in X)\,S(x)\in X (isto é, não garante a existência de nenhum conjunto indutivo). Portanto ZF−Inf não garante a existência do conjunto dos naturais \omega (o conjunto que conteria todos os ordinais finitos).
  • Consequência: não se pode provar, em ZF−Inf, a formulação usual das propriedades de Peano tomadas como um conjunto (\omega,0,S) — por exemplo não se pode provar a existência de um modelo set-theoretic de (todas) as axiomas de Peano que use um conjunto \omega como universo. A indução formulada como um princípio sobre todos os subsets de \omega também não pode ser provada porque \omega pode não existir.
  • Importante: a axiomatização ZF−Inf é compatível tanto com modelos que têm conjuntos infinitos (se o axioma do infinito for verdade no modelo) quanto com modelos em que todo conjunto é finito (se a negação do infinito for verdade no modelo). Ou seja, o axioma do infinito é independente dos demais axiomas de ZF: ZF−Inf nem prova nem refuta o axioma do infinito.

Passo 5

O que se pode fazer condicionalmente (se um conjunto indutivo existir).
  • Se em algum modelo de ZF−Inf existir ao menos um conjunto indutivo I (isto é, 0\in I e (\forall x\in I)\,S(x)\in I), então a teoria prova que existe um menor indutivo: tomar a interseção de todos os subconjuntos indutivos de I dá o conjunto \omega (ou seja, a menor coleção que contém 0 e é fechada por sucessor). A construção é possível usando Separation dentro de I para formar a família de subconjuntos indutivos e depois a interseção dessa família dá um conjunto. Assim, a existência de um indutivo já implica a existência do \omega minimal.
  • Portanto, dentro de ZF−Inf pode-se provar: “se existe um conjunto indutivo então existe \omega e ela é única (minimal) e satisfaz as propriedades de Peano”. O que não se pode provar é a existência dessa hipótese inicial (existência de um indutivo).

Passo 6

Consequências práticas e intuídas para a aritmética e para estudar para prova: resumo operacional.
  • O que dá para fazer em ZF−Inf:
    • Construir e manipular cada numeral finito explicitamente: 0,1,2,\dots,n existem para cada n fixo.
    • Provar propriedades finitas que envolvem apenas um número finito de casos ou que são reduzíveis a verificações finitas.
    • Tratar a classe (não necessariamente conjunto) dos ordinais finitos como um predicado/“classe” de objetos; raciocínios de nível meta sobre todos os finitos podem ser formulados, mas talvez não como quantificação por conjunto dentro da teoria.
  • O que não se pode garantir em ZF−Inf:
    • A existência de um conjunto \omega contendo todos os naturais.
    • A validade, dentro da teoria, do princípio da indução formulado como quantificação sobre todos os subconjuntos de \omega (pois \omega pode não existir).
    • A existência de um modelo de PA (na forma “há um conjunto que é \mathbb{N}”) sem assumir adicionalmente o axioma do infinito.
  • Observação encorajadora: para problemas que envolvem apenas números naturais específicos ou provas que se realizam por construção finita, ZF−Inf é perfeitamente adequado. O obstáculo aparece quando se quer trabalhar com a totalidade dos naturais como um único conjunto.

Resposta

Pode-se construir explicitamente 0=\varnothing e, usando Pairing e Union, o sucessor S(x)=x\cup\{x\}; portanto, para todo numeral fixo n (na linguagem meta) ZF−Inf prova que o ordinal de von Neumann correspondente a n existe, e as propriedades finitas do sucessor (por exemplo 0\neq S(x) e S(x)=S(y)\Rightarrow x=y) podem ser provadas entre esses objetos.
Não se pode garantir que exista um conjunto \omega que contenha todos esses números (isto é, ZF−Inf não prova a existência de um conjunto indutivo nem, em particular, de um conjunto infinito); o axioma do infinito é independente dos demais axiomas de ZF, logo a existência do conjunto dos naturais não é assegurada sem acrescentar o axioma do infinito.

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