Exercício 2.31. Suponha que trabalhamos em ZF sem o axioma do infinito. O que pode ser feito em relação aos números naturais e o que não pode ser garantido?
Passo 1
O enunciado diz que trabalhamos em ZF sem o axioma do infinito. A pergunta é: o que pode ser feito em relação aos números naturais e o que não pode ser garantido nessa teoria?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Estamos em ZF menos o axioma do infinito (vou chamar isso de ZF−Inf).
- Não foi acrescentado nenhum outro axioma extra (nem a negação do infinito).
- A questão pede duas coisas: (i) quais construções e propriedades sobre os naturais ainda são possíveis em ZF−Inf; (ii) quais fatos sobre os naturais não podem ser garantidos (isto é, não são prováveis a partir de ZF−Inf).
Passo 2
Construção dos naturais finitos um a um: existência de
e do sucessor.
- Pelo axioma do conjunto vazio (axioma do vazio) existe o conjunto vazio
. É natural identificar o número zero com , isto é, tomar .
Explicando: o axioma do vazio garante um conjunto sem elementos; isso é suficiente para ter uma representação de. - Definição do sucessor de um conjunto
: use-se a definição de von Neumann Vou mostrar como, com os axiomas de Pairing e Union, se constrói a partir de : - Pelo axioma de Pairing, a partir de
e obtém-se . (Pairing aplicado a dá o conjunto unitário .) - Novamente pelo axioma de Pairing, a partir de
e de obtém-se . - Pelo axioma da União,
. Logo existe.
- Pelo axioma de Pairing, a partir de
- Consequência prática: a partir de
e do procedimento acima pode-se construir explicitamente , , e assim por diante. Para cada numeral natural fixo (pensando em como um número natural na linguagem meta), ZF−Inf prova a existência do ordinal de von Neumann correspondente a esse por aplicações finitas do sucessor.
Comentário didático curto: isto significa que todos os números naturais “isolados” e as operações sucessor (e construções explícitas finitas) existem dentro de ZF−Inf — você pode escrever e provar dentro da teoria que
,
,
, …,
existem, para qualquer
fixo.
Passo 3
O que se consegue provar sobre propriedades básicas (Peano-parte local) dos numerais finitos.
- Para cada
fixo, é possível provar as propriedades típicas: para qualquer , e quando são ordinais construídos por esse procedimento (isto decorre da forma como o sucessor foi definido e dos axiomas de extensionalidade). Em outras palavras, as propriedades que mostram que o sucessor é injetor e que 0 não é sucessor valem para os objetos construídos. - Também se pode verificar finitamente igualdade entre numerais: por exemplo provar que
é e que etc., porque cada um desses objetos é um conjunto concreto que existe em ZF−Inf.
Didaticamente: todas as provas que manipulam apenas um número finito de passos/objetos são possíveis — qualquer argumento que só precise dos primeiros
naturais (com
fixo) pode ser formalizado e provado.
Passo 4
O que NÃO pode ser garantido: inexistência de um conjunto contendo “todos os naturais” e a independência do axioma do infinito.
- ZF−Inf não prova a existência de um conjunto infinito. Em particular, ZF−Inf não prova que existe um conjunto
tal que e (isto é, não garante a existência de nenhum conjunto indutivo). Portanto ZF−Inf não garante a existência do conjunto dos naturais (o conjunto que conteria todos os ordinais finitos). - Consequência: não se pode provar, em ZF−Inf, a formulação usual das propriedades de Peano tomadas como um conjunto
— por exemplo não se pode provar a existência de um modelo set-theoretic de (todas) as axiomas de Peano que use um conjunto como universo. A indução formulada como um princípio sobre todos os subsets de também não pode ser provada porque pode não existir. - Importante: a axiomatização ZF−Inf é compatível tanto com modelos que têm conjuntos infinitos (se o axioma do infinito for verdade no modelo) quanto com modelos em que todo conjunto é finito (se a negação do infinito for verdade no modelo). Ou seja, o axioma do infinito é independente dos demais axiomas de ZF: ZF−Inf nem prova nem refuta o axioma do infinito.
Passo 5
O que se pode fazer condicionalmente (se um conjunto indutivo existir).
- Se em algum modelo de ZF−Inf existir ao menos um conjunto indutivo
(isto é, e ), então a teoria prova que existe um menor indutivo: tomar a interseção de todos os subconjuntos indutivos de dá o conjunto (ou seja, a menor coleção que contém e é fechada por sucessor). A construção é possível usando Separation dentro de para formar a família de subconjuntos indutivos e depois a interseção dessa família dá um conjunto. Assim, a existência de um indutivo já implica a existência do minimal. - Portanto, dentro de ZF−Inf pode-se provar: “se existe um conjunto indutivo então existe
e ela é única (minimal) e satisfaz as propriedades de Peano”. O que não se pode provar é a existência dessa hipótese inicial (existência de um indutivo).
Passo 6
Consequências práticas e intuídas para a aritmética e para estudar para prova: resumo operacional.
- O que dá para fazer em ZF−Inf:
- Construir e manipular cada numeral finito explicitamente:
existem para cada fixo. - Provar propriedades finitas que envolvem apenas um número finito de casos ou que são reduzíveis a verificações finitas.
- Tratar a classe (não necessariamente conjunto) dos ordinais finitos como um predicado/“classe” de objetos; raciocínios de nível meta sobre todos os finitos podem ser formulados, mas talvez não como quantificação por conjunto dentro da teoria.
- Construir e manipular cada numeral finito explicitamente:
- O que não se pode garantir em ZF−Inf:
- A existência de um conjunto
contendo todos os naturais. - A validade, dentro da teoria, do princípio da indução formulado como quantificação sobre todos os subconjuntos de
(pois pode não existir). - A existência de um modelo de PA (na forma “há um conjunto que é
”) sem assumir adicionalmente o axioma do infinito.
- A existência de um conjunto
- Observação encorajadora: para problemas que envolvem apenas números naturais específicos ou provas que se realizam por construção finita, ZF−Inf é perfeitamente adequado. O obstáculo aparece quando se quer trabalhar com a totalidade dos naturais como um único conjunto.
Resposta
Pode-se construir explicitamente
e, usando Pairing e Union, o sucessor
; portanto, para todo numeral fixo
(na linguagem meta) ZF−Inf prova que o ordinal de von Neumann correspondente a
existe, e as propriedades finitas do sucessor (por exemplo
e
) podem ser provadas entre esses objetos.
Não se pode garantir que exista um conjunto que contenha todos esses números (isto é, ZF−Inf não prova a existência de um conjunto indutivo nem, em particular, de um conjunto infinito); o axioma do infinito é independente dos demais axiomas de ZF, logo a existência do conjunto dos naturais não é assegurada sem acrescentar o axioma do infinito.
Não se pode garantir que exista um conjunto