Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+2 x^{2}\right)}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(1+2x^2\bigr)}{\sqrt{x}}.
O conteúdo envolve limites no infinito e comparação de crescimentos: o logaritmo cresce mais devagar que qualquer potência de x.

Passo 2

Para x\to\infty temos 1+2x^2\sim2x^2, ou seja,
\ln\bigl(1+2x^2\bigr)\sim\ln\bigl(2x^2\bigr)=\ln2+2\ln x.
Nesse crescimento, \ln2 é constante e fica insignificante frente a 2\ln x.

Passo 3

Substituindo na fração,
\frac{\ln\bigl(1+2x^2\bigr)}{\sqrt{x}} \sim\frac{\ln2+2\ln x}{x^{1/2}} =\frac{\ln2}{x^{1/2}}+2\,\frac{\ln x}{x^{1/2}}.
O primeiro termo tende a zero pois \ln2 é fixo e x^{1/2}\to\infty. Restou analisar \frac{\ln x}{x^{1/2}}.

Passo 4

Usamos a propriedade
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0
para todo a>0. Aqui a=\tfrac12, logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/2}}=0.
Assim ambos os termos da soma vão a zero e o limite pedido é zero.

Resposta

0

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