Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+3 x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(e^{x}+3x\bigr)^{1/x}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função com forma indeterminada “algo elevado a 1/x” quando x\to+\infty. Para resolver, vamos usar a função logaritmo natural para transformar a potência em produto e depois aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Definimos
y = \bigl(e^{x}+3x\bigr)^{1/x}
e tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln y = \frac{1}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+3x\bigr).
Assim, obteremos \lim_{x\to+\infty}\ln y e depois voltamos a exponentiar.

Passo 3

Dentro do logaritmo, fatoramos e^{x}:
\ln\bigl(e^{x}+3x\bigr) = \ln\bigl(e^{x}\,(1+3x\,e^{-x})\bigr) = x + \ln\bigl(1+3x\,e^{-x}\bigr).
Logo,
\frac{1}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+3x\bigr) = 1 + \frac{1}{x}\,\ln\bigl(1+3x\,e^{-x}\bigr).
Como x\to+\infty implica 3x\,e^{-x}\to0, temos \ln(1+3x\,e^{-x})\sim3x\,e^{-x}\to0. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+3x\bigr) = 1 + 0 = 1,
ou seja, \lim_{x\to+\infty}\ln y = 1.

Passo 4

Voltando ao y, temos
\ln y \to 1 \quad\Longrightarrow\quad y = e^{\ln y} \to e^{1} = e.

Resposta

\displaystyle e

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