1. (2,0) Encontre sobre a curva x^{2}-y^{2}=1 (Hipérbole), o(s) ponto(s) mais próximo do ponto A(0,-2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) ponto(s) da hipérbole
x^{2}-y^{2}=1
que estejam mais próximos do ponto A(0,-2). Como a distância é sempre positiva e fica mais simples, vamos minimizar o quadrado da distância de um ponto (x,y) até A.

Passo 2

Definimos a função objetivo
f(x,y)=\bigl(x-0\bigr)^{2}+\bigl(y+2\bigr)^{2}=x^{2}+(y+2)^{2}
e a restrição da hipérbole
g(x,y)=x^{2}-y^{2}-1=0.
Usaremos multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição.

Passo 3

O método de Lagrange exige
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Calculamos os gradientes:
\nabla f=(2x,\;2(y+2)), \qquad \nabla g=(2x,\;-2y).
Logo o sistema é
(2x,\;2(y+2))=\lambda\,(2x,\;-2y).

Passo 4

Da primeira componente:
2x=\lambda\,2x
se x\neq0 então \lambda=1. Note que x=0 não satisfaz x^{2}-y^{2}=1, pois daria -y^{2}=1, impossível em \mathbb{R}.

Passo 5

Substituindo \lambda=1 na segunda componente:
2(y+2)=-2y
2y+4=-2y
4y=-4
y=-1.

Passo 6

Com y=-1 na restrição x^{2}-y^{2}=1 temos
x^{2}-(-1)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.

Resposta

Os pontos da hipérbole mais próximos de A(0,-2) são
\bigl(\sqrt{2},\,-1\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-\sqrt{2},\,-1\bigr).

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