1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2^{x}}{3^{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a +\infty da função dada. Especificamente:
  • Queremos calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2^{x}}{3^{x}}.
  • A informação dada é apenas a expressão \frac{2^{x}}{3^{x}} e que x cresce sem limite (vai para +\infty).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando a propriedade de potências que diz que, para quaisquer bases positivas a e b,
\frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}.
Aplicando aqui temos
\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}.
Isto deixa o problema em termos da potência de uma única base \frac{2}{3}.

Passo 3

Observe a base \frac{2}{3}. Em notação matemática,
0<\frac{2}{3}<1.
Há uma propriedade básica de potências: se r é um número real com 0<r<1, então r^{x} tende a 0 quando x vai para +\infty. Intuição: multiplicar repetidamente por um número menor que 1 vai diminuindo o resultado cada vez mais, aproximando-se de zero.

Passo 4

Para tornar isso mais claro e um pouco mais “analítico”, reescrevemos a potência usando exponencial e logaritmo natural. Para qualquer base positiva r,
r^{x}=e^{x\ln r}.
Aqui r=\dfrac{2}{3}, portanto
\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=e^{x\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}.
Note que \ln\!\left(\frac{2}{3}\right)<0 porque \frac{2}{3}<1. Então o produto x\ln\!\left(\frac{2}{3}\right) tende a -\infty quando x\to+\infty. Assim
e^{x\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}\longrightarrow e^{-\infty}=0.

Passo 5

Portanto, usando a observação do passo anterior, concluímos que
\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{quando }x\to+\infty.
Como \dfrac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}, o limite pedido é 0.

Resposta

0

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