- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função dada. Especificamente:
- Queremos calcular
. - A informação dada é apenas a expressão
e que cresce sem limite (vai para ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão usando a propriedade de potências que diz que, para quaisquer bases positivas
e
,
Aplicando aqui temos
Isto deixa o problema em termos da potência de uma única base
.
Passo 3
Observe a base
. Em notação matemática,
Há uma propriedade básica de potências: se
é um número real com
, então
tende a
quando
vai para
. Intuição: multiplicar repetidamente por um número menor que
vai diminuindo o resultado cada vez mais, aproximando-se de zero.
Passo 4
Para tornar isso mais claro e um pouco mais “analítico”, reescrevemos a potência usando exponencial e logaritmo natural. Para qualquer base positiva
,
Aqui
, portanto
Note que
porque
. Então o produto
tende a
quando
. Assim
Passo 5
Portanto, usando a observação do passo anterior, concluímos que
Como
, o limite pedido é
.