- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e claras:
é a constante de Euler (aprox.
), a expressão
está definida para todo
e queremos o valor quando
se aproxima de
.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular esse limite, de um jeito bem direto: se a função
é contínua em
, então
Vou justificar por que isso vale aqui: funções exponenciais com base positiva são contínuas em todo lugar. Em particular, a função dada é uma exponencial com base positiva, portanto contínua em
. Assim podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
na função — mas vou mostrar isso em forma algébrica também, para ficar bem claro.
Passo 3
Fazer uma simplificação algébrica útil: notar que
Então
Essa reescrita deixa a função numa forma muito conhecida e fácil de manipular.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de continuidade da exponencial (ou, equivalentemente, a propriedade de limites de funções compostas): como
tem
e
é contínua, vale
Também podemos escrever
de forma equivalente como
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida: substituir diretamente na forma original dá o mesmo resultado, isto é,
o que confirma que o limite é esse valor.