1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{1}{e}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 3}\left(\frac{1}{e}\right)^{x}.
Informações dadas e claras: \displaystyle e é a constante de Euler (aprox. 2,718\ldots), a expressão \left(\frac{1}{e}\right)^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} e queremos o valor quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular esse limite, de um jeito bem direto: se a função f(x) é contínua em x=3, então
\lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
Vou justificar por que isso vale aqui: funções exponenciais com base positiva são contínuas em todo lugar. Em particular, a função dada é uma exponencial com base positiva, portanto contínua em x=3. Assim podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=3 na função — mas vou mostrar isso em forma algébrica também, para ficar bem claro.

Passo 3

Fazer uma simplificação algébrica útil: notar que
\frac{1}{e}=e^{-1}.
Então
\left(\frac{1}{e}\right)^{x}=(e^{-1})^{x}=e^{-x}.
Essa reescrita deixa a função numa forma muito conhecida e fácil de manipular.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de continuidade da exponencial (ou, equivalentemente, a propriedade de limites de funções compostas): como g(x)=-x tem \lim_{x\to 3}g(x)=-3 e h(t)=e^{t} é contínua, vale
\lim_{x\to 3} e^{-x}=e^{\lim_{x\to 3}(-x)}=e^{-3}.
Também podemos escrever e^{-3} de forma equivalente como
e^{-3}=\frac{1}{e^{3}}.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida: substituir diretamente na forma original dá o mesmo resultado, isto é,
\left(\frac{1}{e}\right)^{3}=\frac{1}{e^{3}}=e^{-3},
o que confirma que o limite é esse valor.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e^{3}}

Exercícios relacionados