1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x \rightarrow -1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}.
Informações dadas e óbvias daqui:
  • A função considerada é f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}.
  • O ponto ao qual x tende é x=-1.
  • A base \dfrac{1}{2} é um número positivo.

Passo 2

Lembrete importante sobre limites e funções exponenciais (explicação didática):
  • Uma função é contínua num ponto se o limite quando x tende ao ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
  • Para bases positivas a>0, a função x\mapsto a^{x} é contínua em todo número real. Uma maneira prática de ver isso é usar a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
onde e^{t} é a exponencial natural (contínua) e \ln a é apenas uma constante quando a é fixo. A composição de funções contínuas é contínua, logo a^{x} é contínua.
  • Por isso, para a>0,
\lim_{x\to c} a^{x}=a^{c}.
Aplicando isso ao nosso caso com a=\dfrac{1}{2} e c=-1, segue que
\lim_{x \rightarrow -1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}.

Passo 3

Agora uso a regra de expoente negativo (explicação e cálculo):
  • Regra: para qualquer a\neq 0, tem-se a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Em geral a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.
  • Aplicando ao nosso número,
\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}.
Dividir por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2, então
\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 4

Conclusão final: o limite existe e vale 2. É uma conta simples se você lembrar que funções exponenciais com base positiva são contínuas e que a^{-1}=1/a. Tá feito — respira, isso é bem direto!

Resposta

2

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