Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}+x}{3 x^{3}-2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{2x^{2}+x}{3x^{3}-2x+5}.
Informações dadas: a expressão é uma função racional com numerador \,2x^{2}+x, e denominador \,3x^{3}-2x+5. O ponto de interesse é x\to +\infty. A pergunta é só essa: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Vamos escolher um método simples e seguro: dividir numerador e denominador pelo maior poder de x que aparece na expressão (aqui é x^{3}). Isso é útil porque transforma a expressão em termos de potências negativas de x (tipo 1/x, 1/x^{2}, …) cuja tendência quando x\to+\infty é bem conhecida (tendem a zero). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos
\frac{2x^{2}+x}{3x^{3}-2x+5} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{x}{x^{3}}}{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{2x}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{3-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento das parcelas quando x\to+\infty.
  • \dfrac{2}{x}\to 0 porque 1/x vai a zero quando x cresce sem limite.
  • \dfrac{1}{x^{2}}\to 0.
  • \dfrac{2}{x^{2}}\to 0.
  • \dfrac{5}{x^{3}}\to 0.
    Portanto o numerador \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} tende a 0+0=0 e o denominador 3-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}} tende a 3-0+0=3.

Passo 5

Usando a propriedade de limites (se a_{n}\to A e b_{n}\to B com B\neq 0 então a_{n}/b_{n}\to A/B), temos
\lim_{x\to+\infty} \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{3-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{0}{3} = 0.
Portanto o limite da expressão original é 0.

Passo 6

Uma forma rápida de entender isso na prova: compare os graus dos polinômios. O numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a razão tende a 0 quando x\to\pm\infty. Aqui isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\,0\,

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