A receita total de uma firma
qualquer é dada por:
a) Determine a Receita Média:
e calcule o
b) Interprete o resultado economicamente (de forma intuitiva)
b) Interprete o resultado economicamente (de forma intuitiva)
Passo 1
O enunciado dá a receita total da firma
como
As perguntas são duas:
- Calcular a receita média
e depois . - Interpretar esse resultado economicamente de maneira intuitiva.
Informações relevantes: a variável
representa a quantidade produzida (assumimos
), e
é a receita total associada a essa quantidade.
Passo 2
Definição e cálculo algébrico da receita média. Por definição, receita média é a receita total dividida pela quantidade produzida, isto é
Agora substituímos
pela expressão dada:
Vamos simplificar essa fração passo a passo. Quando dividimos uma fração por
, multiplicamos o denominador por
:
Agora podemos cancelar o fator
no numerador com o
multiplicando o denominador (isso é válido para
, e estamos assumindo
):
Portanto a fórmula simplificada da receita média é
.
Passo 3
Cálculo do limite quando
tende a infinito. Queremos
Usamos duas ideias simples de limites:
- Se o denominador de uma fração cresce sem limite e o numerador é constante, a fração tende a zero.
- Formalmente,
, e multiplicando por obtemos
Portanto
Como verificação rápida (intuição algébrica): para
muito grande,
, então
, que tende a zero quando
cresce.
Passo 4
Exemplos numéricos para sentir o comportamento (apenas para intuição):
Esses números mostram claramente que, conforme
aumenta, a receita por unidade cai e se aproxima de zero.
Passo 5
Interpretação econômica (intuitiva, sem jargões complicados):
- A receita média
é a receita por unidade vendida: quanto, em média, cada unidade vendida rende à firma. - O resultado
significa que, se a firma produzir quantidades muito grandes, a receita por unidade ficará cada vez menor, tendendo a zero. - Por que isso acontece aqui? Observando
, vemos que a receita total tem um teto: quando , . Ou seja, mesmo aumentando muito a produção, a receita total não passa de (unidades monetárias). Se a receita total fica limitada e a quantidade cresce sem limite, a divisão receita/quantidade (receita média) necessariamente cai para zero. - Interpretação prática: pode representar um mercado saturado ou uma curva de demanda muito elástica — ao vender muito, o preço que se consegue por unidade cai tanto que a receita por unidade vai praticamente a zero; ou ainda que há um limite de receita que se pode extrair desse mercado, então cada unidade extra adiciona quase nada à receita total.
- Isso também serve como alerta para produção excessiva: aumentar a quantidade sem considerar preço/mercado pode reduzir dramaticamente o ganho por unidade.