A receita total de uma firma z qualquer é dada por:
R(q)=\frac{100 q}{q+10}
a) Determine a Receita Média: R_{m}(q)=\frac{R(q)}{q} e calcule o \lim _{q \rightarrow+\infty} R_{m}(q)
b) Interprete o resultado economicamente (de forma intuitiva)

Passo 1

O enunciado dá a receita total da firma z como
R(q)=\frac{100\,q}{q+10}.
As perguntas são duas:
  1. Calcular a receita média R_{m}(q)=\dfrac{R(q)}{q} e depois \displaystyle \lim_{q\to+\infty} R_{m}(q).
  2. Interpretar esse resultado economicamente de maneira intuitiva.
Informações relevantes: a variável q representa a quantidade produzida (assumimos q>0), e R(q) é a receita total associada a essa quantidade.

Passo 2

Definição e cálculo algébrico da receita média. Por definição, receita média é a receita total dividida pela quantidade produzida, isto é
R_{m}(q)=\frac{R(q)}{q}.
Agora substituímos R(q) pela expressão dada:
R_{m}(q)=\frac{\dfrac{100\,q}{q+10}}{q}.
Vamos simplificar essa fração passo a passo. Quando dividimos uma fração por q, multiplicamos o denominador por q:
R_{m}(q)=\frac{100\,q}{q(q+10)}.
Agora podemos cancelar o fator q no numerador com o q multiplicando o denominador (isso é válido para q\neq0, e estamos assumindo q>0):
R_{m}(q)=\frac{100}{q+10}.
Portanto a fórmula simplificada da receita média é \displaystyle R_{m}(q)=\frac{100}{q+10}.

Passo 3

Cálculo do limite quando q tende a infinito. Queremos
\lim_{q\to+\infty} R_{m}(q)=\lim_{q\to+\infty}\frac{100}{q+10}.
Usamos duas ideias simples de limites:
  • Se o denominador de uma fração cresce sem limite e o numerador é constante, a fração tende a zero.
  • Formalmente, \lim_{q\to+\infty}\frac{1}{q+10}=0, e multiplicando por 100 obtemos
\lim_{q\to+\infty}\frac{100}{q+10}=100\cdot 0 = 0.
Portanto \displaystyle \lim_{q\to+\infty} R_{m}(q)=0.
Como verificação rápida (intuição algébrica): para q muito grande, q+10\approx q, então R_{m}(q)\approx\frac{100}{q}, que tende a zero quando q cresce.

Passo 4

Exemplos numéricos para sentir o comportamento (apenas para intuição):
R_{m}(1)=\frac{100}{1+10}=\frac{100}{11}\approx 9{,}09,
R_{m}(10)=\frac{100}{20}=5,
R_{m}(90)=\frac{100}{100}=1,
R_{m}(990)=\frac{100}{1000}=0{,}1.
Esses números mostram claramente que, conforme q aumenta, a receita por unidade cai e se aproxima de zero.

Passo 5

Interpretação econômica (intuitiva, sem jargões complicados):
  • A receita média R_{m}(q) é a receita por unidade vendida: quanto, em média, cada unidade vendida rende à firma.
  • O resultado \displaystyle \lim_{q\to+\infty} R_{m}(q)=0 significa que, se a firma produzir quantidades muito grandes, a receita por unidade ficará cada vez menor, tendendo a zero.
  • Por que isso acontece aqui? Observando R(q)=\dfrac{100\,q}{q+10}, vemos que a receita total tem um teto: quando q\to+\infty, R(q)\to 100. Ou seja, mesmo aumentando muito a produção, a receita total não passa de 100 (unidades monetárias). Se a receita total fica limitada e a quantidade cresce sem limite, a divisão receita/quantidade (receita média) necessariamente cai para zero.
  • Interpretação prática: pode representar um mercado saturado ou uma curva de demanda muito elástica — ao vender muito, o preço que se consegue por unidade cai tanto que a receita por unidade vai praticamente a zero; ou ainda que há um limite de receita que se pode extrair desse mercado, então cada unidade extra adiciona quase nada à receita total.
  • Isso também serve como alerta para produção excessiva: aumentar a quantidade sem considerar preço/mercado pode reduzir dramaticamente o ganho por unidade.

Resposta

\displaystyle R_{m}(q)=\frac{100}{q+10}
\displaystyle \lim_{q\to+\infty}R_{m}(q)=0

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