O custo total de uma firma z qualquer é dado por:
C(q)=100+20+\frac{200}{q}
a) Determine o Custo Médio C_{m}(q)=\frac{C(q)}{q} )
b) Encontre o \lim _{q \rightarrow+0^{+}} C_{m}(q) e \lim _{q \rightarrow+\infty} C_{m}(q)
c) O que acontece com o custo médio quando a produção cresce muito? Explique de forma intuitiva.

Passo 1

O enunciado dá a função custo total de uma firma qualquer:
C(q)=100+20+\frac{200}{q}
e pede três coisas:
  1. (a) Determinar o custo médio C_{m}(q)=\dfrac{C(q)}{q}.
  2. (b) Calcular \displaystyle \lim_{q\to 0^{+}} C_{m}(q) e \displaystyle \lim_{q\to +\infty} C_{m}(q).
  3. (c) Explicar, de forma intuitiva, o que acontece com o custo médio quando a produção cresce muito.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de C(q) está acima.
  • O domínio implícito é q>0 (produção positiva), pois aparece \dfrac{200}{q}.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão numérica em C(q). Somando os termos constantes 100+20 obtenho:
C(q)=120+\frac{200}{q}.
Isso é apenas uma simplificação aritmética das constantes.

Passo 3

Agora calculo o custo médio definindo-o e aplicando a definição. A definição é:
C_{m}(q)=\frac{C(q)}{q}.
Substituo C(q) por 120+\dfrac{200}{q} e divido por q.

Passo 4

Faço a divisão termo a termo para ficar bem claro como proceder sem pular passos:
C_{m}(q)=\frac{120+\dfrac{200}{q}}{q}.
Multiplicando top e bottom de cada parcela por 1 de forma a separar os termos:
C_{m}(q)=\frac{120}{q}+\frac{\dfrac{200}{q}}{q}.
No segundo termo \dfrac{\tfrac{200}{q}}{q}=\dfrac{200}{q\cdot q}=\dfrac{200}{q^{2}}. Portanto:
C_{m}(q)=\frac{120}{q}+\frac{200}{q^{2}}.
Essa é a expressão final e simples do custo médio — escrevo-a também em forma factorizada se ajudar:
C_{m}(q)=\frac{120}{q}+\frac{200}{q^{2}}.

Passo 5

Agora vou calcular \displaystyle \lim_{q\to 0^{+}} C_{m}(q). Uso a expressão que acabamos de obter:
C_{m}(q)=\frac{120}{q}+\frac{200}{q^{2}}.
Quando q\to 0^{+} (q pequeno e positivo), \dfrac{1}{q}\to +\infty e \dfrac{1}{q^{2}}\to +\infty ainda mais rápido. Como ambos os termos são positivos, a soma tende a +\infty. Formalmente:
\lim_{q\to 0^{+}}\frac{120}{q}=+\infty,\qquad \lim_{q\to 0^{+}}\frac{200}{q^{2}}=+\infty,
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\lim_{q\to 0^{+}}C_{m}(q)=+\infty.
Uma maneira alternativa e clara: faça a substituição t=\dfrac{1}{q}. Se q\to0^{+} então t\to+\infty e
C_{m}(q)=120t+200t^{2}\xrightarrow[t\to+\infty]{}+\infty.

Passo 6

Agora calculo \displaystyle \lim_{q\to +\infty} C_{m}(q). De novo uso
C_{m}(q)=\frac{120}{q}+\frac{200}{q^{2}}.
Quando q\to+\infty, temos \dfrac{1}{q}\to 0 e \dfrac{1}{q^{2}}\to 0. Portanto cada termo vai a zero:
\lim_{q\to+\infty}\frac{120}{q}=0,\qquad \lim_{q\to+\infty}\frac{200}{q^{2}}=0,
e pela propriedade da soma:
\lim_{q\to+\infty}C_{m}(q)=0+0=0.

Passo 7

Explicação intuitiva (estilo amigo, sem enrolação): pense no custo total C(q)=120+\dfrac{200}{q} como uma combinação de coisas que não crescem com q e de uma parcela que diminui com q. O termo constante 120 representa um custo que não depende do número de unidades (um custo fixo total). Quando eu divido esse custo fixo pelo número de unidades q, o custo por unidade vindo desse pedaço é \dfrac{120}{q} — ou seja, quanto mais eu produzir, menos pesa esse custo por unidade (você “espalha” o custo fixo em mais unidades). O outro termo \dfrac{200}{q^{2}} também vai para zero quando q cresce, porque é algo que diminui ainda mais rápido com q.
Conclusão intuitiva: ao aumentar muito a produção o custo médio cai cada vez mais e tende a zero — porque os custos fixos ficam distribuídos em muitas unidades e a outra parcela também diminui com q. Em linguagem pratica: produzir mais dilui custos fixos, reduzindo o custo por unidade.

Resposta

(a) \displaystyle C_{m}(q)=\frac{120}{q}+\frac{200}{q^{2}}
(b) \displaystyle \lim_{q\to 0^{+}}C_{m}(q)=+\infty \quad e \quad \displaystyle \lim_{q\to +\infty}C_{m}(q)=0
(c) Quando a produção cresce muito, o custo médio diminui e tende a zero — pois os custos fixos são diluídos em muitas unidades e as parcelas que dependem negativamente de q vão a zero.

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