Calcule \frac{d y}{d x} para a função \left\{\begin{array}{c}x=6 t\left(1+t^{2}\right)^{-1} \\\ y=6 t^{2}\left(1+t^{2}\right)^{-1}\end{array}, 0<\mathrm{t}<1\right., no ponto de abscissa \frac{12}{5}.

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica definida por
x = 6\,t\,(1+t^{2})^{-1},\quad y = 6\,t^{2}\,(1+t^{2})^{-1},\quad 0<t<1
e pede a derivada \frac{dy}{dx} no ponto de abscissa x=\tfrac{12}{5}.
Conteúdo: derivada de curva paramétrica. Vamos precisar das derivadas \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt} e usar a regra da cadeia \tfrac{dy}{dx}=(dy/dt)/(dx/dt).

Passo 2

Para obter \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt} usamos a regra do quociente:
se u(t)/v(t), então
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u' v - u\,v'}{v^{2}}.
Aqui u_{x}=6t, v=1+t^{2}, u_{y}=6t^{2}. Assim,
\frac{dx}{dt} =\frac{6\,(1+t^{2}) - 6t\cdot 2t}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{6 - 6t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =6\,\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}},
\frac{dy}{dt} =\frac{12t\,(1+t^{2}) - 6t^{2}\cdot 2t}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{12t}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 3

Aplicando \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, vem
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{12t}{(1+t^{2})^{2}}}{6\,\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}} =\frac{12t}{6(1-t^{2})} =\frac{2t}{1-t^{2}}.

Passo 4

Precisamos do valor de t tal que x=\tfrac{12}{5}. Da expressão
6\,\frac{t}{1+t^{2}}=\frac{12}{5}
vem, multiplicando em cruz,
30t = 12(1+t^{2}) \;\Longrightarrow\; 12t^{2}-30t+12=0 \;\Longrightarrow\; 2t^{2}-5t+2=0.
As raízes são t=(5\pm3)/4, ou seja t=2 ou t=\tfrac12. Como 0<t<1, escolhemos t=\tfrac12.

Passo 5

Substituindo t=\tfrac12 em \tfrac{dy}{dx}=\tfrac{2t}{1-t^{2}}, obtemos
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{t=\tfrac12} =\frac{2\cdot\frac12}{1-(\frac12)^{2}} =\frac{1}{1-\tfrac14} =\frac{1}{\tfrac34} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}.

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