1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x-1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)^{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência com base \dfrac{3x+2}{3x-1} e expoente x.
  • A variável x tende para +\infty.

Passo 2

Estratégia (explicada devagarinho): quando temos limites de formas do tipo (\text{algo})^{x} com x\to\infty, é útil transformar usando o logaritmo natural para tirar o expoente. Vou definir a função
f(x)=\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)^{x}
e estudar \ln f(x). Depois, como a função exponencial \exp é contínua, se eu conseguir calcular \lim_{x\to\infty}\ln f(x)=L, então
\lim_{x\to\infty}f(x)=\exp(L).
Isso é um truque padrão: trocar potência por produto com logaritmo para facilitar o limite.

Passo 3

Calcular a expressão do logaritmo:
\ln f(x)=x\ln\!\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right).
Primeiro simplifico a fração dentro do logaritmo:
\frac{3x+2}{3x-1}=1+\frac{(3x+2)-(3x-1)}{3x-1}=1+\frac{3}{3x-1}.
Defino agora a função auxiliar
u(x)=\frac{3}{3x-1}.
Observações sobre u(x):
  • Quando x\to+\infty, tem-se u(x)\to 0^{+}.
  • A expressão dentro do logaritmo fica 1+u(x), então
\ln f(x)=x\ln\!\big(1+u(x)\big).

Passo 4

Expressar x em função de u para manipular melhor o produto x\ln(1+u). Da definição de u:
u=\frac{3}{3x-1}\quad\Rightarrow\quad 3x-1=\frac{3}{u}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3/u+1}{3}=\frac{1}{u}+\frac{1}{3}.
Substituindo em \ln f(x):
\ln f(x)=\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{3}\right)\ln(1+u)=\frac{\ln(1+u)}{u}+\frac{1}{3}\ln(1+u),
onde u=u(x) e u\to 0^{+} quando x\to+\infty.

Passo 5

Avaliar os limites das duas parcelas quando u\to 0:
  1. Para a primeira parcela, usar o limite conhecido (ou L’Hôpital):
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Breve justificativa com L’Hôpital: a forma é indeterminada 0/0, derivando numerador e denominador obtemos \lim_{u\to0}\dfrac{1/(1+u)}{1}=1.
  1. Para a segunda parcela,
\lim_{u\to 0}\frac{1}{3}\ln(1+u)=\frac{1}{3}\cdot 0 = 0.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\ln f(x)=\lim_{u\to0}\left(\frac{\ln(1+u)}{u}+\frac{1}{3}\ln(1+u)\right)=1+0=1.

Passo 6

Como \lim_{x\to\infty}\ln f(x)=1 e a exponencial é contínua, conclui-se
\lim_{x\to\infty}f(x)=\exp(1)=e.
(Dica de verificação rápida: isso é consistente com o caso padrão \lim_{x\to\infty}\big(1+\tfrac{a}{x}\big)^{x}=e^{a}. Aqui a manipulação mostrou que o comportamento efetivo é com a=1.)

Resposta

e

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