- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência com base
e expoente . - A variável
tende para .
Passo 2
Estratégia (explicada devagarinho): quando temos limites de formas do tipo
com
, é útil transformar usando o logaritmo natural para tirar o expoente. Vou definir a função
e estudar
. Depois, como a função exponencial
é contínua, se eu conseguir calcular
, então
Isso é um truque padrão: trocar potência por produto com logaritmo para facilitar o limite.
Passo 3
Calcular a expressão do logaritmo:
Primeiro simplifico a fração dentro do logaritmo:
Defino agora a função auxiliar
Observações sobre
:
- Quando
, tem-se . - A expressão dentro do logaritmo fica
, então
Passo 4
Expressar
em função de
para manipular melhor o produto
. Da definição de
:
Substituindo em
:
onde
e
quando
.
Passo 5
Avaliar os limites das duas parcelas quando
:
- Para a primeira parcela, usar o limite conhecido (ou L’Hôpital):
Breve justificativa com L’Hôpital: a forma é indeterminada
, derivando numerador e denominador obtemos
.
- Para a segunda parcela,
Portanto
Passo 6
Como
e a exponencial é contínua, conclui-se
(Dica de verificação rápida: isso é consistente com o caso padrão
. Aqui a manipulação mostrou que o comportamento efetivo é com
.)