(2,0 pontos) Determine os valores das constantes a e b para que a função f seja contínua em todo \mathbb{R} :
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & x<2 \\\ a x^{2}-b x+3, & 2 \leq x<3 \\\\ 2 x-a+b, & x \geq 3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores das constantes [a) e b para que a função f seja contínua em todo \mathbb{R}.
As informações dadas (função por partes) são:
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & x<2 \\[6pt] a x^{2}-b x+3, & 2 \leq x<3 \\[6pt] 2 x-a+b, & x \geq 3\end{cases}
Pontos onde a continuidade precisa ser verificada (mudança de definição):
  • x=2\] (limite pela esquerda vem da primeira expressão, valor em \(x=2 vem da segunda).
  • x=3 (limite pela esquerda vem da segunda expressão, valor em x=3 vem da terceira).]

Passo 2

Relembrando o conceito essencial (passo-a-passo, sem pressa): uma função é contínua em um ponto c se os três valores abaixo existem e são iguais:
\lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
Para uma função definida por partes, nos pontos de fronteira entre partes (aqui x=2 e x=3) isso significa que o limite à esquerda deve coincidir com o valor dado pela parte que define f naquele ponto e também com o limite à direita, quando aplicável. Portanto vamos calcular esses limites e igualá‑los para obter equações em a e b.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda em x=2, ou seja \lim_{x\to2^-}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
Primeiro simplificar a expressão algébrica:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
logo, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2.
Portanto
\lim_{x\to2^-}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to2^-}(x+2)=2+2=4.
Então o limite pela esquerda em x=2 vale 4.

Passo 4

Valor da função em x=2 vem da segunda parte (pois ela vale para 2\le x<3):
f(2)=a\cdot 2^{2}-b\cdot 2+3=4a-2b+3.
Para continuidade em x=2 precisamos que f(2) seja igual ao limite pela esquerda (que é 4). Assim obtemos a primeira equação:
4a-2b+3=4.
Subtraindo 3 dos dois lados:
4a-2b=1. \tag{1}

Passo 5

Agora verificar continuidade em x=3. Limite pela esquerda em x=3 é dado pela segunda parte, substituindo x=3:
\lim_{x\to3^-}(a x^{2}-b x+3)=a\cdot 3^{2}-b\cdot 3+3=9a-3b+3.
O valor da função em x=3 (e também o limite pela direita) vem da terceira parte, substituindo x=3:
f(3)=2\cdot 3 - a + b =6 - a + b.
Para continuidade em x=3 igualamos essas expressões:
9a-3b+3=6-a+b.
Reorganizando os termos para obter uma equação linear:
9a+a-3b-b=6-3
10a-4b=3. \tag{2}

Passo 6

Resolver o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} 4a-2b=1,\\[4pt] 10a-4b=3. \end{cases}
Uma forma prática é eliminar b. Multiplicando a equação (1) por 2 obtemos:
8a-4b=2.
Subtraindo essa equação da (2):
(10a-4b)-(8a-4b)=3-2 \quad\Rightarrow\quad 2a=1.
Logo
a=\tfrac{1}{2}.
Substituindo a=\tfrac{1}{2} em (1):
4\cdot\tfrac{1}{2}-2b=1 \quad\Rightarrow\quad 2-2b=1 \quad\Rightarrow\quad -2b=-1,
portanto
b=\tfrac{1}{2}.]

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom para ganhar confiança na prova):
Em x=2:
f(2)=4a-2b+3=4\cdot\tfrac{1}{2}-2\cdot\tfrac{1}{2}+3=2-1+3=4,
que coincide com o limite pela esquerda 4.
Em x=3:
\text{lim left}=9a-3b+3=9\cdot\tfrac{1}{2}-3\cdot\tfrac{1}{2}+3=4{,}5-1{,}5+3=6,
f(3)=6-a+b=6-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=6,
logo coincidem também em x=3. Assim com a=b=\tfrac{1}{2} a função é contínua em todos os pontos de fronteira; como as três expressões são polinomiais (ou equivalentes a polinômio quando simplificadas), f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

a=\tfrac{1}{2}
b=\tfrac{1}{2}

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