Derive as seguintes funções:
f(x)=e^{2 x}\left(x^{3}-4 x+1\right)+\ln 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=e^{2 x}\left(x^{3}-4 x+1\right)+\ln 5.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é a soma de dois termos: um produto e^{2x}\big(x^{3}-4x+1\big) e uma constante \ln 5.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regras básicas que vamos usar (breve explicação):
  • A derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f=g+h então f'=g'+h'.
  • A derivada de uma constante é zero. Assim, \dfrac{d}{dx}\big(\ln 5\big)=0 porque \ln 5 não depende de x.
  • A derivada de um produto u(x)v(x) é dada pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Expliquei isso porque vamos aplicar exatamente essa regra ao termo e^{2x}\big(x^{3}-4x+1\big).

Passo 3

Regra da cadeia para exponencial (explicação):
  • A função e^{g(x)} tem derivada e^{g(x)}\cdot g'(x). Isso vem do fato de que a derivada de e^t em relação a t é e^t, e pela regra da cadeia multiplicamos pela derivada do argumento g(x).
  • No nosso caso, para u(x)=e^{2x} temos g(x)=2x e portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot\frac{d}{dx}(2x)=e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.

Passo 4

Derivada do polinômio (passo a passo):
  • Seja v(x)=x^{3}-4x+1.
  • A derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • A derivada de -4x é -4.
  • A derivada de +1 é 0.
    Portanto
v'(x)=3x^{2}-4.

Passo 5

Aplicar a regra do produto ao termo não-constante:
  • Identificamos u(x)=e^{2x} e v(x)=x^{3}-4x+1.
  • Usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=2e^{2x} e v'(x)=3x^{2}-4, obtemos
\frac{d}{dx}\Big(e^{2x}\big(x^{3}-4x+1\big)\Big) =2e^{2x}\big(x^{3}-4x+1\big)+e^{2x}\big(3x^{2}-4\big).

Passo 6

Somar a derivada do termo constante e simplificar:
  • A derivada de \ln 5 é 0, então não acrescenta nada.
  • Colocando tudo junto:
f'(x)=2e^{2x}\big(x^{3}-4x+1\big)+e^{2x}\big(3x^{2}-4\big).
  • Fatorando e^{2x} em evidência:
f'(x)=e^{2x}\Big(2\big(x^{3}-4x+1\big)+\big(3x^{2}-4\big)\Big).
  • Desenvolvendo o parêntese interno:
2\big(x^{3}-4x+1\big)+\big(3x^{2}-4\big)=2x^{3}-8x+2+3x^{2}-4=2x^{3}+3x^{2}-8x-2.
Portanto a forma simplificada é
f'(x)=e^{2x}\big(2x^{3}+3x^{2}-8x-2\big).

Resposta

f'(x)=e^{2x}\big(2x^{3}+3x^{2}-8x-2\big)

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