(3,0) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{2 x}+3 x\right)^{1 / x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite quando x\to+\infty da expressão
\left(e^{2x}+3x\right)^{1/x}.
Informações dadas:
  • A variável independente é x e a direção de aproximação é x\to+\infty.
  • A expressão a avaliar é \left(e^{2x}+3x\right)^{1/x}.
    O objetivo final é encontrar um número real que seja o valor desse limite.

Passo 2

Estratégia geral (fórmula útil que vou usar): quando aparece um limite de uma expressão na forma f(x)^{g(x)} com f(x)>0, uma técnica segura é tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Se existir o limite
\lim_{x\to a} g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr)=L,
então, pela continuidade da exponencial,
\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = e^{L}.
Vou aplicar isso com f(x)=e^{2x}+3x e g(x)=1/x.

Passo 3

Defino
y(x)=\left(e^{2x}+3x\right)^{1/x},
e trabalho com o logaritmo natural:
\ln y(x)=\frac{1}{x}\ln\bigl(e^{2x}+3x\bigr).
O objetivo passa a ser calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln y(x); depois aplico a exponencial para voltar a y(x).

Passo 4

Manipulo o logaritmo dentro:
\ln\bigl(e^{2x}+3x\bigr)=\ln\!\bigl(e^{2x}\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr)\bigr).
Usando a propriedade \ln(ab)=\ln a+\ln b, obtemos
\ln\bigl(e^{2x}+3x\bigr)=\ln\bigl(e^{2x}\bigr)+\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr)=2x+\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr).

Passo 5

Substituo na expressão de \ln y(x):
\ln y(x)=\frac{1}{x}\Bigl(2x+\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr)\Bigr)=2+\frac{1}{x}\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr).
Logo
\lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=2+\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr),
se esse último limite existir.

Passo 6

Mostro que 3x e^{-2x}\to 0 quando x\to+\infty. Escrevo
3x e^{-2x}=\frac{3x}{e^{2x}}.
O numerador tende a +\infty e o denominador tende a +\infty, então posso aplicar a regra de L’Hôpital:
derivando numerador e denominador em relação a x,
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{e^{2x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{2e^{2x}}=0.
Portanto 3x e^{-2x}\to 0.

Passo 7

Uso uma desigualdade simples para \ln(1+t) com t\ge0: \ln(1+t)\le t e também \ln(1+t)\ge 0. Aplicando com t=3x e^{-2x}\ge0,
0 \le \ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr)\le 3x e^{-2x}.
Dividindo por x>0,
0 \le \frac{1}{x}\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr)\le \frac{3x e^{-2x}}{x}=3 e^{-2x}.
Como 3 e^{-2x}\to 0 quando x\to+\infty, pelo princípio do confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\ln\bigl(1+3x e^{-2x}\bigr)=0.

Passo 8

Voltando a \ln y(x), pelo Passo 5 e Passo 7:
\lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=2+0=2.
Pela continuidade da exponencial, isso implica
\lim_{x\to+\infty}y(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(e^{2x}+3x\right)^{1/x}=e^{2}.

Resposta

e^{2}

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