Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede calcular o limite quando
da expressão
Informações dadas:
- A variável independente é
e a direção de aproximação é . - A expressão a avaliar é
.
O objetivo final é encontrar um número real que seja o valor desse limite.
Passo 2
Estratégia geral (fórmula útil que vou usar): quando aparece um limite de uma expressão na forma
com
, uma técnica segura é tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Se existir o limite
então, pela continuidade da exponencial,
Vou aplicar isso com
e
.
Passo 3
Defino
e trabalho com o logaritmo natural:
O objetivo passa a ser calcular
; depois aplico a exponencial para voltar a
.
Passo 4
Manipulo o logaritmo dentro:
Usando a propriedade
, obtemos
Passo 5
Substituo na expressão de
:
Logo
se esse último limite existir.
Passo 6
Mostro que
quando
. Escrevo
O numerador tende a
e o denominador tende a
, então posso aplicar a regra de L’Hôpital:
derivando numerador e denominador em relação a ,
derivando numerador e denominador em relação a
Portanto
.
Passo 7
Uso uma desigualdade simples para
com
:
e também
. Aplicando com
,
Dividindo por
,
Como
quando
, pelo princípio do confronto (squeeze theorem) segue que
Passo 8
Voltando a
, pelo Passo 5 e Passo 7:
Pela continuidade da exponencial, isso implica