Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que se busca:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Quer-se o comportamento dessa razão quando
tende a .
Passo 2
Primeiro observação sobre os extremos:
-
. -
(porque e é crescente).
Logo temos uma indeterminação do tipo. Isso permite (sob condições satisfeitas aqui) usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Lembrete (didático) da Regra de L’Hôpital: se
e
são diferenciáveis em um intervalo para
grande, e
(ou ambos
), então, se existir,
ou a regra mostra que o limite da razão original tem o mesmo valor (ou ambos não existem/tendem a
). Aqui as hipóteses são satisfeitas, então podemos derivar numerador e denominador.
Passo 4
Calcular as derivadas:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
,
pois.
Aplicando L’Hôpital obtemos
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
Para
temos
e
. Portanto o fator entre parênteses
tende a
. Como
também, o produto
tende a
. (Produto de duas quantidades que tendem a
é
.)
Uma observação alternativa e útil para provas de prova:
cresce mais rápido que qualquer potência de
, logo
; aqui a presença do termo dominante
dentro do parênteses garante que o produto seja infinito.
Passo 6
Conclusão: o limite é
.