(3,0) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{\ln \left(1+2 x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{\ln\!\left(1+2x^{2}\right)}.
Informações dadas e o que se busca:
  • Numerador: \,e^{x}\,.
  • Denominador: \,\ln\!\left(1+2x^{2}\right)\,.
  • Quer-se o comportamento dessa razão quando x tende a +\infty.

Passo 2

Primeiro observação sobre os extremos:
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}e^{x}=+\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\!\left(1+2x^{2}\right)=+\infty (porque 1+2x^{2}\to+\infty e \ln é crescente).
    Logo temos uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty}. Isso permite (sob condições satisfeitas aqui) usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Lembrete (didático) da Regra de L’Hôpital: se f(x) e g(x) são diferenciáveis em um intervalo para x grande, e \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
ou a regra mostra que o limite da razão original tem o mesmo valor (ou ambos não existem/tendem a \pm\infty). Aqui as hipóteses são satisfeitas, então podemos derivar numerador e denominador.

Passo 4

Calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\ln\!\left(1+2x^{2}\right)=\dfrac{(1+2x^{2})'}{1+2x^{2}}=\dfrac{4x}{1+2x^{2}},
    pois \dfrac{d}{dx}(1+2x^{2})=4x.
Aplicando L’Hôpital obtemos
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{\ln\!\left(1+2x^{2}\right)} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{\dfrac{4x}{1+2x^{2}}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}e^{x}\cdot\frac{1+2x^{2}}{4x}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
e^{x}\cdot\frac{1+2x^{2}}{4x} =\frac{1}{4}e^{x}\!\left(\frac{1}{x}+2x\right).
Para x\to+\infty temos \dfrac{1}{x}\to0 e 2x\to+\infty. Portanto o fator entre parênteses \big(\tfrac{1}{x}+2x\big) tende a +\infty. Como e^{x}\to+\infty também, o produto \,e^{x}\cdot\big(\tfrac{1}{x}+2x\big)\, tende a +\infty. (Produto de duas quantidades que tendem a +\infty é +\infty.)
Uma observação alternativa e útil para provas de prova: e^{x} cresce mais rápido que qualquer potência de x, logo x e^{x}\to+\infty; aqui a presença do termo dominante 2x dentro do parênteses garante que o produto seja infinito.

Passo 6

Conclusão: o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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