(3,0) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x\,\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{x}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to0^{+}), ou seja, estamos considerando valores positivos de x pequenos.
  • A função envolvida é x multiplicada por \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{x}\right). Lembrando que \operatorname{sen} é a função seno, que oscila entre -1 e 1.

Passo 2

Conhecimento básico sobre a função seno (aqui uma mini-aula): para todo número real t vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Isto é consequência da definição geométrica/analítica da função seno — ela mede uma razão trigonométrica que nunca ultrapassa 1 em módulo. Esse fato é fundamental porque nos dá um limite para o termo oscilante \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right).

Passo 3

Usando a desigualdade do seno, substituímos t=\tfrac{1}{x}. Para todo x\neq0 temos
-1 \le \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \le 1.
Como no nosso limite estamos com x\to0^{+} (portanto x>0 perto de 0), podemos multiplicar toda a desigualdade por x sem inverter os sinais. Obtemos então
-x \le x\,\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \le x.

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções que “apertam” x\sin(1/x). Usando regras básicas de limites,
\lim_{x\to0^{+}} (-x) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^{+}} x = 0.
Ambos tendem a 0 porque multiplicar por x faz a expressão ir para zero quando x vai a zero.

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem): se para x perto de 0 vale
-x \le x\,\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \le x
e ambos os limites das extremas tendem a um mesmo número 0, então
\lim_{x\to0^{+}} x\,\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)=0.
Intuição: \sin(1/x) oscila muito quando x se aproxima de 0, mas essa oscilação fica multiplicada por x, que vai para zero; o resultado é que a amplitude das oscilações se anula.

Passo 6

(Observação alternativa que reforça a ideia) Podemos também usar valor absoluto:
\left|x\,\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right| \le x,
e como \lim_{x\to0^{+}} x = 0, segue \lim_{x\to0^{+}} \left|x\,\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right| = 0. Logo a própria função tende a 0.

Resposta

0

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