Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{\ln (x)}\right]^{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{1}{\ln(x)}\right]^{x+1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão depende de x e envolve a função logarítmica natural \ln(x).
  • Queremos o comportamento dessa expressão quando x cresce sem limite, isto é, quando x\to+\infty.
  • Não há outra restrição: assumimos x>1 para que \ln(x) esteja bem definido e positivo quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qualitativamente os fatores da expressão:
  • Para x\to+\infty temos \ln(x)\to+\infty.
  • Logo \frac{1}{\ln(x)}\to0^+ (a base tende a zero, mas permanece positiva).
  • A potência é x+1\to+\infty (expoente cresce sem limite).
    Então temos uma situação do tipo "base tendendo a 0^+" elevada a um expoente que vai para +\infty. Intuitivamente isso tende a 0, mas devemos justificar de forma rigorosa.

Passo 3

Uma técnica padrão para limites de potências com variável no expoente é reescrever usando a função exponencial e logaritmo, porque \mathrm{e}^{\ln(y)}=y. Assim:
\left[\frac{1}{\ln(x)}\right]^{x+1} = \exp\!\big((x+1)\ln\big(\tfrac{1}{\ln(x)}\big)\big).
Agora usamos a regra de logaritmo \ln\big(\tfrac{1}{\ln(x)}\big)=\ln(1)-\ln(\ln(x))=-\ln(\ln(x)). Portanto a expressão fica
\left[\frac{1}{\ln(x)}\right]^{x+1} = \exp\!\big( -(x+1)\,\ln(\ln(x)) \big).

Passo 4

Para determinar o limite da exponencial, basta estudar o limite do expoente
-(x+1)\,\ln(\ln(x))
quando x\to+\infty. Note que para x> \mathrm{e} (onde \mathrm{e} é a base dos logs), temos \ln(x)>1 e assim \ln(\ln(x))>0. Logo, para x suficientemente grande, o produto (x+1)\ln(\ln(x)) é positivo e cresce com x.

Passo 5

Mostramos que (x+1)\ln(\ln(x))\to+\infty. Uma maneira simples e rigorosa: escolha X_0=\mathrm{e}^{\mathrm{e}}. Para todo x\ge X_0 temos \ln(x)\ge\mathrm{e}, logo \ln(\ln(x))\ge1. Então, para x\ge X_0,
(x+1)\ln(\ln(x)) \ge (x+1)\cdot 1 = x+1.
Como x+1\to+\infty quando x\to+\infty, segue que (x+1)\ln(\ln(x))\to+\infty. Portanto o expoente
-(x+1)\ln(\ln(x)) \to -\infty.

Passo 6

Agora usamos a continuidade da função exponencial: se t\to -\infty então \exp(t)\to 0. Aplicando isto à nossa expressão reescrita,
\exp\!\big( -(x+1)\ln(\ln(x)) \big) \to 0
quando x\to+\infty.

Passo 7

Conclusão final: a expressão original tende a 0. Como verificação intuitiva: a base \tfrac{1}{\ln(x)} é um número pequeno positivo para x grande, e ser elevada a um expoente que cresce linearmente faz o produto exponentemente pequeno, anulando a expressão para 0.

Resposta

0

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