Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão depende de
e envolve a função logarítmica natural . - Queremos o comportamento dessa expressão quando
cresce sem limite, isto é, quando . - Não há outra restrição: assumimos
para que esteja bem definido e positivo quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qualitativamente os fatores da expressão:
- Para
temos . - Logo
(a base tende a zero, mas permanece positiva). - A potência é
(expoente cresce sem limite).
Então temos uma situação do tipo "base tendendo a" elevada a um expoente que vai para . Intuitivamente isso tende a , mas devemos justificar de forma rigorosa.
Passo 3
Uma técnica padrão para limites de potências com variável no expoente é reescrever usando a função exponencial e logaritmo, porque
. Assim:
Agora usamos a regra de logaritmo
. Portanto a expressão fica
Passo 4
Para determinar o limite da exponencial, basta estudar o limite do expoente
quando
. Note que para
(onde
é a base dos logs), temos
e assim
. Logo, para
suficientemente grande, o produto
é positivo e cresce com
.
Passo 5
Mostramos que
. Uma maneira simples e rigorosa: escolha
. Para todo
temos
, logo
. Então, para
,
Como
quando
, segue que
. Portanto o expoente
Passo 6
Agora usamos a continuidade da função exponencial: se
então
. Aplicando isto à nossa expressão reescrita,
quando
.
Passo 7
Conclusão final: a expressão original tende a
. Como verificação intuitiva: a base
é um número pequeno positivo para
grande, e ser elevada a um expoente que cresce linearmente faz o produto exponentemente pequeno, anulando a expressão para
.