Questão 1. Calcule os seguintes limites (não é permitido usar a Regra de L’Hospital):
(1,0) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}+5 x-14}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+5x-14}.
Informações dadas: temos dois polinômios em x no numerador e no denominador. A tarefa é calcular esse limite quando x se aproxima de 2. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=2 diretamente para ver o que acontece. Calculando cada parte:
\text{numerador: }2^{2}-4=4-4=0,
\text{denominador: }2^{2}+5\cdot 2-14=4+10-14=0.
Portanto, ao fazer a substituição direta obtemos a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Vamos eliminar a indeterminação por álgebra: fatorando numerador e denominador.
Regra útil 1 (diferença de quadrados): para qualquer a,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=2,
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Regra útil 2 (fatoração de trinômio): um polinômio x^{2}+bx+c pode ser fatorado encontrando dois números que multiplicam c e somam b. No nosso denominador x^{2}+5x-14 precisamos de dois números que multiplicam -14 e somam 5. Esses números são 7 e -2, pois 7\cdot(-2)=-14 e 7+(-2)=5. Assim
x^{2}+5x-14=(x+7)(x-2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração temos (para x\neq 2)
\frac{x^{2}-4}{x^{2}+5x-14}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+7)}.
Como x\neq 2 na definição do limite (apenas nos aproximamos de 2), podemos cancelar o fator comum (x-2):
\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+7)}=\frac{x+2}{x+7}\qquad (x\neq 2).
Isso mostra que a função original tem uma descontinuidade removível em x=2 e que, para efeitos do limite, podemos estudar a função simplificada \dfrac{x+2}{x+7}.

Passo 5

Agora o limite é fácil: a função simplificada é contínua em torno de x=2 (exceto no próprio ponto, mas o limite só precisa da vizinhança), então basta substituir x=2:
\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x+7}=\frac{2+2}{2+7}=\frac{4}{9}.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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