Questão 1. Calcule os seguintes limites (não é permitido usar a Regra de L’Hospital):
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas: temos dois polinômios em
no numerador e no denominador. A tarefa é calcular esse limite quando
se aproxima de
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituir
diretamente para ver o que acontece. Calculando cada parte:
Portanto, ao fazer a substituição direta obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — precisamos manipular a expressão.
Passo 3
Vamos eliminar a indeterminação por álgebra: fatorando numerador e denominador.
Regra útil 1 (diferença de quadrados): para qualquer
,
Aplicando com
e
,
Regra útil 2 (fatoração de trinômio): um polinômio
pode ser fatorado encontrando dois números que multiplicam
e somam
. No nosso denominador
precisamos de dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
, pois
e
. Assim
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração temos (para
)
Como
na definição do limite (apenas nos aproximamos de
), podemos cancelar o fator comum
:
Isso mostra que a função original tem uma descontinuidade removível em
e que, para efeitos do limite, podemos estudar a função simplificada
.
Passo 5
Agora o limite é fácil: a função simplificada é contínua em torno de
(exceto no próprio ponto, mas o limite só precisa da vizinhança), então basta substituir
: