Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações dadas: a função está escrita como uma potência da função cosseno, ou seja, .
Objetivo: calcular , a derivada de
em função de
.
Informações dadas: a função está escrita como uma potência da função cosseno, ou seja,
Objetivo: calcular
Passo 2
Relembrando duas regras que vamos usar (com explicação didática):
- Regra do poder (caso simples): a derivada de
é . Ex.: a derivada de é . Isso vem da definição de derivada aplicada a potências. - Regra da cadeia (explicação): quando temos uma função composta
, a derivada é
Ou seja, derivamos a função externa em relação a
e multiplicamos pela derivada da função interna
. Pense assim: primeiro ajustamos o expoente (se for potência), depois multiplicamos pela derivada do que está dentro.
Também precisamos do fato básico:
- A derivada de
é . Isso é padrão: ao aproximar variações do cosseno, a taxa de variação é negativa do seno.
Para fixar a ideia com um exemplo simples: se
, usamos cadeia:
,
. Derivada externa é
. Logo
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso. Identificamos a composição:
Colocamos
. Então
.
Usando a regra do poder + regra da cadeia:
- Derivada da função externa
em relação a é . - Derivada da função interna
é .
Portanto, pela regra da cadeia:
Passo 4
Simplificando o sinal e a ordem dos fatores:
Podemos escrever também como
; são a mesma coisa.