Encontre a derivada das seguintes funções:
\mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos ^{3}(\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função \mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos^{3}(\mathrm{x}).
Informações dadas: a função está escrita como uma potência da função cosseno, ou seja, \mathrm{g}(x) = \big(\cos(x)\big)^{3}.
Objetivo: calcular \mathrm{g}'(x), a derivada de \mathrm{g} em função de x.

Passo 2

Relembrando duas regras que vamos usar (com explicação didática):
  1. Regra do poder (caso simples): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}. Ex.: a derivada de \,x^{3} é \,3x^{2}. Isso vem da definição de derivada aplicada a potências.
  2. Regra da cadeia (explicação): quando temos uma função composta F(x) = f(u(x)), a derivada é
F'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
Ou seja, derivamos a função externa em relação a u e multiplicamos pela derivada da função interna u(x). Pense assim: primeiro ajustamos o expoente (se for potência), depois multiplicamos pela derivada do que está dentro.
Também precisamos do fato básico:
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x). Isso é padrão: ao aproximar variações do cosseno, a taxa de variação é negativa do seno.
Para fixar a ideia com um exemplo simples: se H(x)=(2x+1)^{3}, usamos cadeia: u=2x+1, u'=2. Derivada externa é 3u^{2}. Logo H'(x)=3(2x+1)^{2}\cdot 2 = 6(2x+1)^{2}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso. Identificamos a composição:
\mathrm{g}(x)=\big(\cos(x)\big)^{3}.
Colocamos u(x)=\cos(x). Então \mathrm{g}(x)=u(x)^{3}.
Usando a regra do poder + regra da cadeia:
  • Derivada da função externa u^{3} em relação a u é 3u^{2}.
  • Derivada da função interna u(x)=\cos(x) é u'(x)=-\sin(x).
Portanto, pela regra da cadeia:
\mathrm{g}'(x)=3u^{2}\cdot u'(x)=3\big(\cos(x)\big)^{2}\cdot\big(-\sin(x)\big).

Passo 4

Simplificando o sinal e a ordem dos fatores:
\mathrm{g}'(x)=-3\big(\cos(x)\big)^{2}\sin(x).
Podemos escrever também como \mathrm{g}'(x)=-3\cos^{2}(x)\sin(x); são a mesma coisa.

Resposta

\displaystyle -3\cos^{2}(x)\sin(x)

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