Calcule os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{z^{2}-(2+3 i) z+1}{i z-3}.

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função racional de z quando \lvert z\rvert\to\infty, ou seja, estamos lidando com um limite no infinito no plano complexo. Como a variável cresce sem limite, o que importa é o grau do polinômio do numerador em relação ao grau do polinômio do denominador.

Passo 2

Observe que o numerador
z^{2}-(2+3 i)z+1
é um polinômio de grau 2 e o denominador
i\,z-3
é um polinômio de grau 1. Quando dividimos o numerador e o denominador por z, temos
\frac{z^{2}-(2+3i)z+1}{i\,z-3} =\frac{z-\,(2+3i)+\frac{1}{z}}{i-\frac{3}{z}}.
À medida que z\to\infty, os termos \tfrac{1}{z} e \tfrac{3}{z} tendem a zero, ficando
\frac{z-(2+3i)}{i} =\frac{z}{i}-\frac{2+3i}{i}.

Passo 3

O termo dominante é \tfrac{z}{i}, que cresce sem limite de módulo quando \lvert z\rvert\to\infty. Portanto, a função não converge para um valor finito, mas cresce ilimitadamente. Em termos de limite no infinito, dizemos que o limite é infinito.

Resposta

\infty

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