Mostre que a função f(z) é descontínua no ponto dado.
f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{z}{|z|}, \quad z \neq 0 \\\ 1, \quad z=0\end{array}\right.no ponto z_{0}=0.

Passo 1

O enunciado define
f(z)= \begin{cases} \dfrac{z}{\lvert z\rvert},&z\neq 0,\\[6pt] 1,&z=0 \end{cases}
e pede para mostrar que f é descontínua em z_{0}=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em 0 se, e somente se,
\lim_{z\to0}f(z)=f(0)=1.]

Passo 2

Vamos investigar \lim_{z\to0}f(z) por trajetórias diferentes no plano complexo. Se esses limites parciais forem distintos, o limite global não existe, logo f não é contínua.

Passo 3

  1. Ao aproximar z\to0 ao longo do eixo real positivo, ou seja z=x com x>0, temos
f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1,
logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=1.
  1. Ao aproximar z\to0 ao longo do eixo imaginário positivo, ou seja z=iy com y>0, temos \lvert iy\rvert=y e
f(iy)=\frac{iy}{|iy|}=\frac{iy}{y}=i,
logo
\lim_{y\to0^+}f(iy)=i.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0^+}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{y\to0^+}f(iy)=i
são limites diferentes, o limite \lim_{z\to0}f(z) não existe. Portanto, não é igual a f(0)=1, e f é descontínua em 0.

Resposta

A função f não é contínua em z_{0}=0.

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