Calcule os seguintes limites: \lim _{z \rightarrow i} \frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}.
Passo 1
O enunciado pede o limite em variável complexa da função
f(z)=\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}
quando z se aproxima de i. Vamos usar o critério de que, se o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo, a função fica sem limite finito (diverge).
Passo 2
Avaliamo numerador e denominador em z=i:
o numerador é
i^{2}-1 = -1 - 1 = -2 \neq 0,
enquanto o denominador é
i^{2}+1 = -1 + 1 = 0.
Logo, em z=i temos denominador zero mas numerador não nulo.
Passo 3
Isso caracteriza um polo simples em z=i, e em qualquer ponto próximo a i o valor de \bigl|f(z)\bigr| cresce sem limite. Portanto a função diverge quando z\to i.
Resposta
O limite não existe, pois \displaystyle f(z)\to\infty quando z\to i.