Calcule os seguintes limites, se possível, ou justifique porque eles não existem.
(0,5) lim x 0 sen(6 x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular limx 0 sin(6x)x. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de limites em cálculo, especificamente limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de uma propriedade básica dos limites envolvendo o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma das fórmulas mais importantes quando se trata de limites com seno. Sabemos que:
limx 0 sin(x)x = 1
Isso significa que, à medida que x se aproxima de 0, o valor de sin(x)x se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, no nosso caso, temos sin(6x) no lugar de sin(x). Podemos ajustar a fórmula que lembramos para se adequar a esse caso. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Se substituirmos u = 6x, então quando x 0, u 0 também. Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
limx 0 sin(6x)x = limu 0 sin(u)u6 = 6 cdot limu 0 sin(u)u

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula que conhecemos:
limu 0 sin(u)u = 1
Então, substituindo de volta:
6 cdot 1 = 6

Resposta

O limite é igual a 6.

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