Calcule os seguintes limites, se possível, ou justifique porque eles não existem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de limites em cálculo, especificamente limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de uma propriedade básica dos limites envolvendo o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma das fórmulas mais importantes quando se trata de limites com seno. Sabemos que:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de 0, o valor de
se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, no nosso caso, temos
no lugar de
. Podemos ajustar a fórmula que lembramos para se adequar a esse caso. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Se substituirmos
, então quando
,
também. Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula que conhecemos:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O limite é igual a
.