Calcule os seguintes limites, se possível, ou justifique porque eles não existem.
(0,5) lim x 1 raizx^2+4-raiz5x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 para a expressão x . Vamos usar conceitos de limites e racionalização para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir $ x $ por 1 na expressão:
x
Isso dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

A próxima jogada é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz quadrada. A conjugada de $ \sqrt{x^{2}+4} - \sqrt{5} $ é $ \sqrt{x^{2}+4} + \sqrt{5} $. Então, multiplicamos assim:
raizx^2+4 - raiz5

Passo 4

Agora, multiplicamos os numeradores e os denominadores:
(raizx^2+4 - raiz5)(raizx^2+4 + raiz5)(x-1)(raizx^2+4 + raiz5)
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx^2+4)^2 - (raiz5)^2 = x^2 + 4 - 5 = x^2 - 1
Então, a expressão fica:
x^2 - 1(x-1)(raizx^2+4 + raiz5)

Passo 5

Perceba que $ x^{2} - 1 $ pode ser fatorado como $ (x - 1)(x + 1) $. Substituímos na expressão:
x^2 - 1
Agora, podemos cancelar o $ (x - 1) $ que está no numerador e no denominador:
(x - 1)(x + 1)

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir $ x = 1 $ sem problemas:
x = 1
Para deixar a resposta mais “arrumada”, podemos racionalizar o denominador:
1 + 1raiz1^2+4 + raiz5 = 2raiz5 + raiz5 = 22raiz5 = 1raiz5

Resposta

O limite é raiz55.

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