Calcule os seguintes limites, se possível, ou justifique porque eles não existem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 para a expressão
. Vamos usar conceitos de limites e racionalização para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir $ x $ por 1 na expressão:
Isso dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
A próxima jogada é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz quadrada. A conjugada de $ \sqrt{x^{2}+4} - \sqrt{5} $ é $ \sqrt{x^{2}+4} + \sqrt{5} $. Então, multiplicamos assim:
Passo 4
Agora, multiplicamos os numeradores e os denominadores:
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Perceba que $ x^{2} - 1 $ pode ser fatorado como $ (x - 1)(x + 1) $. Substituímos na expressão:
Agora, podemos cancelar o $ (x - 1) $ que está no numerador e no denominador:
Passo 6
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir $ x = 1 $ sem problemas:
Para deixar a resposta mais “arrumada”, podemos racionalizar o denominador:
Resposta
O limite é
.