Calcule os seguintes limites, se possível, ou justifique porque eles não existem.
Passo 1
O enunciado pede calcular
. O conteúdo envolvido é limite de produto entre uma função que tende a zero e uma função oscilante, e vamos usar o Teorema do Confronto para resolver.
Passo 2
Sabemos que para todo
vale
[0 \le \cos^2\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) \le 1].
[0 \le \cos^2\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) \le 1].
Passo 3
Multiplicando essa desigualdade por
, que é não-negativa, obtemos
[0 \le \sqrt{x},\cos^2\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) \le \sqrt{x}], e como , o Teorema do Confronto garante que
[\lim_{x\to0+}\sqrt{x},\cos2\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)=0].
[0 \le \sqrt{x},\cos^2\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) \le \sqrt{x}], e como
[\lim_{x\to0+}\sqrt{x},\cos2\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)=0].
Resposta
0