Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=tan (x+pi2).

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico de y=tanl(x+tfracpi2r). O conteúdo envolvido é transformação de funções trigonométricas (deslocamento de fase) e propriedades do gráfico da função tangente, como período, zeros e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, relembramos o gráfico de y=tan x:
  • Período pi.
  • Assíntotas verticais em x=tfracpi2+kpi, kinZ.
  • Zeros em x=kpi.
  • Entre duas assíntotas sucessivas, a curva cresce de -infty a +infty, passando por zero no ponto médio.

Passo 3

Para aplicar o deslocamento de fase, observamos que substituir x por x+tfracpi2 desloca o gráfico de y=tan x em tfracpi2 unidades para a esquerda. Ou seja, tudo que era em x no gráfico de tan x passa a ocorrer em x-tfracpi2.

Passo 4

Agora determinamos as características de y=tanl(x+tfracpi2r):
Assíntotas verticais quando
x+tfracpi2=tfracpi2+kpi
que dá
x=kpi,
para todo kinZ.
Zeros quando
x+tfracpi2=kpi
que dá
x=kpi-tfracpi2

Passo 5

Entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo em x=0 e x=pi, a curva:
  • em xto0^+, x+tfracpi2totfracpi2^+, então yto-infty (tan passa de +infty a -infty no salto);
  • em x=tfracpi2, zero de y;
  • em xtopi^-, x+tfracpi2totfrac3pi2^-, então yto+infty.
Assim, a curva cresce de -infty a +infty entre duas assíntotas, cruzando o eixo em x=tfracpi2.

Passo 6

Com base nesses dados, basta traçar o esboço periódico com período pi, assíntotas verticais em x=kpi, zeros em x=kpi-tfracpi2 e a forma característica de tangente deslocada para a esquerda em tfracpi2.

Resposta

O gráfico de y=tan(x+tfracpi2) é o de y=tan x deslocado tfracpi2 unidades para a esquerda, com assíntotas verticais em x=kpi, zeros em x=kpi-tfracpi2 e período pi.

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