Calcule os seguintes limites:
\quad \lim _{\alpha \rightarrow 0} \alpha^{2} c o \operatorname{sec} ^{2} \alpha

Passo 1

Vou explicar claramente o que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{\alpha\to 0} \alpha^{2}\csc^{2}\alpha.
  • Informação dada: a expressão envolve \alpha aproximando-se de 0 e a função \csc (cosecante), que é definida por \csc\alpha = \dfrac{1}{\sin\alpha} quando \sin\alpha\neq 0.

Passo 2

Reescrevo a expressão de maneira mais conveniente para análise.
\alpha^{2}\csc^{2}\alpha = \alpha^{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha}\right)^{2} = \left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2}.
Explicação: usei \csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha} e manipulei potências normalmente. Agora o limite vira o quadrado de um quociente que é mais fácil de estudar.

Passo 3

Vou estudar o limite interior \displaystyle \lim_{\alpha\to 0}\dfrac{\alpha}{\sin\alpha}. Para isso uso um resultado clássico e seu argumento: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Vou provar esse resultado de forma elementar (geométrica/squeeze), sem assumir nada.
Considere x tal que 0<x<\tfrac{\pi}{2}. Pela geometria no círculo trigonométrico (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas) vale
\sin x < x < \tan x.
Dividindo todos os termos por \sin x>0 obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo e lembrando que para x pequeno \cos x>0, ou simplesmente observando a desigualdade equivalente
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1,
vemos que, ao fazer x\to 0^+, o lado esquerdo \cos x\to 1 e o lado direito já é 1. Pelo teorema do sanduíche (squeeze theorem),
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Como \dfrac{\sin x}{x} é uma função par (isto é, \dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}), o mesmo limite vale ao aproximar por valores negativos. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Daí segue imediatamente que
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1,
pois é o inverso de algo que tende a 1.

Passo 4

Uso a propriedade de limites e continuidade para obter o limite da expressão original.
Tendo \displaystyle \lim_{\alpha\to 0}\frac{\alpha}{\sin\alpha}=1, e sabendo que a função t\mapsto t^{2} é contínua (logo transforma limites em limites ao quadrado), segue
\lim_{\alpha\to 0}\left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2} =\left(\lim_{\alpha\to 0}\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2} =1^{2}=1.

Resposta

1

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