Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vou explicar claramente o que o problema pede e o que é dado.
- Pedido: calcular
. - Informação dada: a expressão envolve
aproximando-se de e a função (cosecante), que é definida por quando .
Passo 2
Reescrevo a expressão de maneira mais conveniente para análise.
Explicação: usei
e manipulei potências normalmente. Agora o limite vira o quadrado de um quociente que é mais fácil de estudar.
Passo 3
Vou estudar o limite interior
. Para isso uso um resultado clássico e seu argumento:
. Vou provar esse resultado de forma elementar (geométrica/squeeze), sem assumir nada.
Considere
tal que
. Pela geometria no círculo trigonométrico (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas) vale
Dividindo todos os termos por
obtemos
Invertendo e lembrando que para
pequeno
, ou simplesmente observando a desigualdade equivalente
vemos que, ao fazer
, o lado esquerdo
e o lado direito já é
. Pelo teorema do sanduíche (squeeze theorem),
Como
é uma função par (isto é,
), o mesmo limite vale ao aproximar por valores negativos. Assim
Daí segue imediatamente que
pois é o inverso de algo que tende a
.
Passo 4
Uso a propriedade de limites e continuidade para obter o limite da expressão original.
Tendo
, e sabendo que a função
é contínua (logo transforma limites em limites ao quadrado), segue